Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = {(x^{2} - 9)}^{2}$ on $- 3$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 9$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 9$ .

$2 (x^{2} - 9) \frac{d}{d x} [x^{2} - 9]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$2 (x^{2} - 9) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (x^{2} - 9) (2 x + \frac{d}{d x} [- 9])$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x^{2} - 9) (2 x + 0)$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 (x^{2} - 9) (2 x)$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (x^{2} - 9) x$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(4 x^{2} + 4 \cdot - 9) x$

Étape 1.1.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 x^{2} x + 4 \cdot - 9 x$

Étape 1.1.1.3.3

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + 4 \cdot - 9 x$

Étape 1.1.1.3.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 x^{1 + 2} + 4 \cdot - 9 x$

Étape 1.1.1.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 x^{3} + 4 \cdot - 9 x$

Étape 1.1.1.3.3.4

Multipliez $4$ par $- 9$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 36 x$ .

$4 x^{3} - 36 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 36 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 36 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 36 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 36 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 36 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 9) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 9)$ .

$4 x (x^{2} - 9) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 3^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

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Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 3$ .

$4 x ((x + 3) (x - 3)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 3) (x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 3) (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3, 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez ${(x^{2} - 9)}^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${({(0)}^{2} - 9)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(0 - 9)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $9$ de $0$ .

${(- 9)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Élevez $- 9$ à la puissance $2$ .

$81$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 9)}^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{2}$

Étape 1.4.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${({(3)}^{2} - 9)}^{2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 9)}^{2}$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{2}$

Étape 1.4.3.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 81), (- 3, 0), (3, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${({(- 3)}^{2} - 9)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Élevez $- 3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 9)}^{2}$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{2}$

Étape 2.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${({(3)}^{2} - 9)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

${(9 - 9)}^{2}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $9$ de $9$ .

$0^{2}$

Étape 2.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 3, 0), (3, 0)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 81)$

Minimum absolu : $(- 3, 0), (3, 0)$

Étape 4