Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = x^{3} e^{- x}$ , $- 1 \leq x \leq 4$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{- x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$x^{3} (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$x^{3} (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x^{3} (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.3.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$x^{3} (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.3.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{- x}$ .

$x^{3} (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.3.3

Réécrivez $- 1 e^{- x}$ comme $- e^{- x}$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (- e^{- x}) + e^{- x} (3 x^{2})$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$

Étape 1.1.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- e^{- x} x^{3} + 3 e^{- x} x^{2}$ .

$f' (x) = - x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x^{2} e^{- x}$ à partir de $- x^{3} e^{- x} + 3 x^{2} e^{- x}$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x^{2} e^{- x}$ à partir de $- x^{3} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + 3 x^{2} e^{- x} = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x^{2} e^{- x}$ à partir de $3 x^{2} e^{- x}$ .

$x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x^{2} e^{- x}$ à partir de $x^{2} e^{- x} (- x) + x^{2} e^{- x} (3)$ .

$x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{- x} = 0$

$- x + 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.2.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.2.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.2.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $e^{- x}$ égal à $0$ .

$e^{- x} = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $e^{- x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x}) = \ln (0)$

Étape 1.2.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.6

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $- x + 3$ égal à $0$ .

$- x + 3 = 0$

Étape 1.2.6.2

Résolvez $- x + 3 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.6.2.1

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$- x = - 3$

Étape 1.2.6.2.2

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.6.2.2.1

Divisez chaque terme dans $- x = - 3$ par $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.6.2.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.2.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 3}{- 1}$

Étape 1.2.6.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.6.2.2.3.1

Divisez $- 3$ par $- 1$ .

$x = 3$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{- x} (- x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} e^{- x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} e^{- (0)}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{- (0)}$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 e^{0}$

Étape 1.4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{3} e^{- (3)}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 e^{- (3)}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$27 e^{- 3}$

Étape 1.4.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$27 \frac{1}{e^{3}}$

Étape 1.4.2.2.4

Associez $27$ et $\frac{1}{e^{3}}$ .

$\frac{27}{e^{3}}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (3, \frac{27}{e^{3}})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} e^{- (- 1)}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 e^{- (- 1)}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- 1 e^{1}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez

$- 1 e$

Étape 2.1.2.4

Réécrivez $- 1 e$ comme $- e$ .

$- e$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} e^{- (4)}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 e^{- (4)}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$64 e^{- 4}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$64 \frac{1}{e^{4}}$

Étape 2.2.2.4

Associez $64$ et $\frac{1}{e^{4}}$ .

$\frac{64}{e^{4}}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - e), (4, \frac{64}{e^{4}})$

Étape 3

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, \frac{27}{e^{3}})$

Minimum absolu : $(- 1, - e)$

Étape 4