Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} e^{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Étape 1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3} e^{x}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{3} e^{x}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2} e^{x})$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2} e^{x}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2} e^{x}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{x})$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x^{2}))$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x))$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 (x^{2} e^{x}) + 3 (e^{x} (2 x))$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2}) + 3 x^{2} e^{x} + 6 (e^{x} (x))$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $e^{x} (3 x^{2})$ et $3 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 2.4.2.2.1

Déplacez $e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Étape 2.4.2.2.2

Additionnez $3 x^{2} e^{x}$ et $3 x^{2} e^{x}$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 e^{x} x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f'' (x) = e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$

Étape 2.4.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{3} + 6 e^{x} x^{2} + 6 e^{x} x$ .

$f'' (x) = x^{3} e^{x} + 6 x^{2} e^{x} + 6 x e^{x}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = e^{x}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} e^{x} + e^{x} (3 x^{2})$

Étape 4.1.4

Simplifiez

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Étape 4.1.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$

Étape 4.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} x^{3} + 3 e^{x} x^{2}$ .

$f' (x) = x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 5.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{3} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + 3 x^{2} e^{x} = 0$

Étape 5.2.2

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $3 x^{2} e^{x}$ .

$x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3) = 0$

Étape 5.2.3

Factorisez $x^{2} e^{x}$ à partir de $x^{2} e^{x} (x) + x^{2} e^{x} (3)$ .

$x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$

Étape 5.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{2} = 0$

$e^{x} = 0$

$x + 3 = 0$

Étape 5.4

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.4.1

Définissez $x^{2}$ égal à $0$ .

$x^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez $x^{2} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.4.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 5.4.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 5.4.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 5.4.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 5.5

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.5.1

Définissez $e^{x}$ égal à $0$ .

$e^{x} = 0$

Étape 5.5.2

Résolvez $e^{x} = 0$ pour $x$ .

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Étape 5.5.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Étape 5.5.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 5.5.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{x} = 0$

Aucune solution

Étape 5.6

Définissez $x + 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.6.1

Définissez $x + 3$ égal à $0$ .

$x + 3 = 0$

Étape 5.6.2

Soustrayez $3$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 3$

Étape 5.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x^{2} e^{x} (x + 3) = 0$ vraie.

$x = 0, - 3$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 3$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

${(0)}^{3} e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 e^{0} + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 6 {(0)}^{2} e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 6 \cdot 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.6

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 6 (0) e^{0}$

Étape 9.1.8

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 e^{0}$

Étape 9.1.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 0 + 0 \cdot 1$

Étape 9.1.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$0 + 0 + 0$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 10

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

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Étape 10.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Étape 10.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 6$ , de l’intervalle $(- \infty, - 3)$ dans la dérivée première $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 6$ dans l’expression.

$f' (- 6) = {(- 6)}^{3} e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Étape 10.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.2.2.1.1

Élevez $- 6$ à la puissance $3$ .

$f' (- 6) = - 216 e^{- 6} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Étape 10.2.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = - 216 \frac{1}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Étape 10.2.2.1.3

Associez $- 216$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = \frac{- 216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Étape 10.2.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 {(- 6)}^{2} e^{- 6}$

Étape 10.2.2.1.5

Élevez $- 6$ à la puissance $2$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 3 \cdot (36 e^{- 6})$

Étape 10.2.2.1.6

Multipliez $3$ par $36$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 e^{- 6}$

Étape 10.2.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + 108 (\frac{1}{e^{6}})$

Étape 10.2.2.1.8

Associez $108$ et $\frac{1}{e^{6}}$ .

$f' (- 6) = - \frac{216}{e^{6}} + \frac{108}{e^{6}}$

Étape 10.2.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.2.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 6) = \frac{- 216 + 108}{e^{6}}$

Étape 10.2.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 10.2.2.2.2.1

Additionnez $- 216$ et $108$ .

$f' (- 6) = \frac{- 108}{e^{6}}$

Étape 10.2.2.2.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 6) = - \frac{108}{e^{6}}$

Étape 10.2.2.3

La réponse finale est $- \frac{108}{e^{6}}$ .

$- \frac{108}{e^{6}}$

Étape 10.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- 3, 0)$ dans la dérivée première $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = {(- 2)}^{3} e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 10.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.3.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$f' (- 2) = - 8 e^{- 2} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - 8 \frac{1}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.3

Associez $- 8$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 {(- 2)}^{2} e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.5

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 3 \cdot (4 e^{- 2})$

Étape 10.3.2.1.6

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 e^{- 2}$

Étape 10.3.2.1.7

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + 12 (\frac{1}{e^{2}})$

Étape 10.3.2.1.8

Associez $12$ et $\frac{1}{e^{2}}$ .

$f' (- 2) = - \frac{8}{e^{2}} + \frac{12}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.2

Associez les fractions.

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Étape 10.3.2.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 8 + 12}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.2.2

Additionnez $- 8$ et $12$ .

$f' (- 2) = \frac{4}{e^{2}}$

Étape 10.3.2.3

La réponse finale est $\frac{4}{e^{2}}$ .

$\frac{4}{e^{2}}$

Étape 10.4

Remplacez tout nombre, tel que $2$ , de l’intervalle $(0, \infty)$ dans la dérivée première $x^{3} e^{x} + 3 x^{2} e^{x}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 10.4.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$f' (2) = {(2)}^{3} e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 10.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 10.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 10.4.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 {(2)}^{2} e^{2}$

Étape 10.4.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 3 \cdot (4 e^{2})$

Étape 10.4.2.1.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (2) = 8 e^{2} + 12 e^{2}$

Étape 10.4.2.2

Additionnez $8 e^{2}$ et $12 e^{2}$ .

$f' (2) = 20 e^{2}$

Étape 10.4.2.3

La réponse finale est $20 e^{2}$ .

$20 e^{2}$

Étape 10.5

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = - 3$ , $x = - 3$ est un minimum local.

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 10.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 0$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 10.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} e^{x}$ .

$x = - 3$ est un minimum local

Étape 11