Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2} + 4$ et $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.9

Associez les fractions.

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Étape 1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Étape 1.9.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Étape 1.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.10.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Étape 1.10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}}]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{(x + 2) (x - 2)}{x^{2}})$

Étape 2.2

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.3

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} \frac{d}{d x} ((x + 2) (x - 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 2$ et $g (x) = x - 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \frac{d}{d x} (x - 2) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5

Différenciez.

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Étape 2.5.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + \frac{d}{d x} (- 2)) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) (1 + 0) + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} ((x + 2) \cdot 1 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.4.2

Multipliez $x + 2$ par $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \frac{d}{d x} (x + 2)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + \frac{d}{d x} (2))) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) (1 + 0)) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.8

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 2.5.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + (x - 2) \cdot 1) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.2

Multipliez $x - 2$ par $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (x + 2 + x - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.3

Additionnez $x$ et $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 2 - 2) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.4

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 2.5.8.4.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x + 0) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.5.8.4.2

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{2} (2 x) - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.6.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.6.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot x^{2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{1 + 2} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.6.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{x^{3} \cdot 2 - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 \cdot x^{3} - (x + 2) (x - 2) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - (x + 2) (x - 2) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.9

Associez les fractions.

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Étape 2.9.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$g'' (x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$

Étape 2.9.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{x^{4}}$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x + 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10

Simplifiez

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Étape 2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 2 \cdot 2) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.10.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x - 4) (x - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2

Développez $(- 2 x - 4) (x - 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 2.10.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x (x - 2) - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 (x - 2)) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 2.10.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.10.2.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} - 2 x \cdot - 2 - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x - 4 \cdot - 2) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.1.3

Multipliez $- 4$ par $- 2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 4 x - 4 x + 8) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.2

Soustrayez $4 x$ de $4 x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 0 + 8) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.3.3

Additionnez $- 2 x^{2}$ et $0$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} + (- 2 x^{2} + 8) x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{2} x + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.10.2.1.5.1

Déplacez $x$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 2.10.2.1.5.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 (x \cdot x^{2}) + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{1 + 2} + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.1.5.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$g'' (x) = \frac{2 x^{3} - 2 x^{3} + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.2

Soustrayez $2 x^{3}$ de $2 x^{3}$ .

$g'' (x) = \frac{0 + 8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.2.3

Additionnez $0$ et $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{8 x}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.3

Associez des termes.

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Étape 2.10.3.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $4$ .

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Étape 2.10.3.1.1

Factorisez $4$ à partir de $8 x$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.3.1.2.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 (x^{4})}$

Étape 2.10.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$g'' (x) = \frac{4 (2 x)}{4 x^{4}}$

Étape 2.10.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$g'' (x) = \frac{2 x}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.2

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 2.10.3.2.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x^{4}}$

Étape 2.10.3.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.10.3.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.10.3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$g'' (x) = \frac{x \cdot 2}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.10.3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$g'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{2} + 4}{4 x}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} + 4}{x}]$

Étape 4.1.2

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4] - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez.

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Étape 4.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + \frac{d}{d x} [4]) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x + 0) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (2 x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 (x^{1} x^{1}) - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{1 + 1} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.1.9

Associez les fractions.

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Étape 4.1.9.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$

Étape 4.1.9.2

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{x^{2}}$ .

$\frac{2 x^{2} - (x^{2} + 4)}{4 x^{2}}$

Étape 4.1.10

Simplifiez

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Étape 4.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 1 \cdot 4}{4 x^{2}}$

Étape 4.1.10.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{2 x^{2} - x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Étape 4.1.10.2.2

Soustrayez $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4}{4 x^{2}}$

Étape 4.1.10.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.10.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 2^{2}}{4 x^{2}}$

Étape 4.1.10.3.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$f' (x) = \frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$(x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 5.3.2

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.2.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 5.3.3

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 5.3.3.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 5.3.3.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 5.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = - 2, 2$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4 x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$4 x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1.1

Divisez chaque terme dans $4 x^{2} = 0$ par $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.2.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.2.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Étape 6.2.1.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Étape 6.2.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.1.3.1

Divisez $0$ par $4$ .

$x^{2} = 0$

Étape 6.2.2

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.3

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.3.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.3.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = - 2, 2$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(- 2)}^{3}$ .

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Étape 9.1.1

Réécrivez $2$ comme $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 1 (- 2)}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 9.1.2

Factorisez $- 2$ à partir de $- 1 (- 2)$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{{(- 2)}^{3}}$

Étape 9.1.3

Annulez les facteurs communs.

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Étape 9.1.3.1

Factorisez $- 2$ à partir de ${(- 2)}^{3}$ .

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Étape 9.1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 \cdot - 1}{- 2 {(- 2)}^{2}}$

Étape 9.1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 9.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 9.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 1}{4}$

Étape 9.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{4}$

Étape 10

$x = - 2$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 2$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = - 2$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$g (- 2) = \frac{{(- 2)}^{2} + 4}{4 (- 2)}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$g (- 2) = \frac{4 + 4}{4 (- 2)}$

Étape 11.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$g (- 2) = \frac{8}{4 (- 2)}$

Étape 11.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 11.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$g (- 2) = \frac{8}{- 8}$

Étape 11.2.2.2

Divisez $8$ par $- 8$ .

$g (- 2) = - 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 2$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{{(2)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Annulez le facteur commun à $2$ et ${(2)}^{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (1)}{{(2)}^{3}}$

Étape 13.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 13.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{3}$ .

$\frac{2 (1)}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 13.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2^{2}}$

Étape 13.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2^{2}}$

Étape 13.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 14

$x = 2$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$g (2) = \frac{{(2)}^{2} + 4}{4 (2)}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$g (2) = \frac{4 + 4}{4 (2)}$

Étape 15.2.1.2

Additionnez $4$ et $4$ .

$g (2) = \frac{8}{4 (2)}$

Étape 15.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 15.2.2.1

Multipliez $4$ par $2$ .

$g (2) = \frac{8}{8}$

Étape 15.2.2.2

Divisez $8$ par $8$ .

$g (2) = 1$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $1$ .

$y = 1$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $g (x) = \frac{x^{2} + 4}{4 x}$ .

$(- 2, - 1)$ est un maximum local

$(2, 1)$ est un minimum local

Étape 17