Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ on $- 1$ , $2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x$

Étape 1.1.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x$

Étape 1.1.1.2.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2}$

Étape 1.1.1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2}$

Étape 1.1.1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)}$

Étape 1.1.1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1}$

Étape 1.1.1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1}$

Étape 1.1.1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3 x$ .

$3 x^{2} - 3 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 3 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 3 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 1)$ .

$3 x (x - 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot {(0)}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{3}{2} \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.1.3.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{3}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.3.2

Multipliez $0$ par $\frac{3}{2}$ .

$0 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{3}{2} \cdot {(1)}^{2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - \frac{3}{2} \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$1 - \frac{3}{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 3}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.3

Soustrayez $3$ de $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 1.4.2.2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (1, - \frac{1}{2})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2} \cdot {(- 1)}^{2}$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.1.2.1.2.1

Déplacez ${(- 1)}^{2}$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.1.2.2

Multipliez ${(- 1)}^{2}$ par $- 1$ .

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Étape 2.1.2.1.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.1.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- 1 + {(- 1)}^{2 + 1} \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.1.2.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$- 1 + {(- 1)}^{3} \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- 1 - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 1 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2.1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 - 3}{2}$

Étape 2.1.2.5.2

Soustrayez $3$ de $- 2$ .

$\frac{- 5}{2}$

Étape 2.1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - \frac{3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{3}{2}$ dans le numérateur.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot {(2)}^{2}$

Étape 2.2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{2}$ .

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 2.2.2.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$8 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 2)$

Étape 2.2.2.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$8 - 3 \cdot 2$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$8 - 6$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $6$ de $8$ .

$2$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - \frac{5}{2}), (2, 2)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 2)$

Minimum absolu : $(- 1, - \frac{5}{2})$

Étape 4