Calcul infinitésimal Exemples

${(x^{2} - 1)}^{3}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Étape 1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.4.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 (x (2 (x^{2} - 1) (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.4.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = 6 (x (4 (x^{2} - 1) x) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.6

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = 6 (x \cdot x (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 (x^{1 + 1} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x))$

Étape 2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2} \cdot 1)$

Étape 2.10

Multipliez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ par $1$ .

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.11

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 x^{2} + 4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.11.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 x^{2}) + x^{2} (4 \cdot - 1) + {(x^{2} - 1)}^{2})$

Étape 2.11.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 6 (x^{2} (4 x^{2})) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.4.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.4.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$f'' (x) = 6 (x^{2} x^{2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 6 (x^{2 + 2} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.1.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 6 (x^{4} \cdot 4) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.2

Déplacez $4$ à gauche de $x^{4}$ .

$f'' (x) = 6 (4 \cdot x^{4}) + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.3

Multipliez $4$ par $6$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} + 6 (x^{2} (4 \cdot - 1)) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.4

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} + 6 (x^{2} \cdot - 4) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.5

Déplacez $- 4$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} + 6 (- 4 \cdot x^{2}) + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.4.6

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 2.11.5

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.1

Réécrivez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ comme $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1))$

Étape 2.11.5.2

Développez $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1))$

Étape 2.11.5.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1))$

Étape 2.11.5.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.3.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.3.1.1.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3.1.1.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $x^{2}$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3.1.3

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3.1.4

Réécrivez $- 1 x^{2}$ comme $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1)$

Étape 2.11.5.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1)$

Étape 2.11.5.3.2

Soustrayez $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 (x^{4} - 2 x^{2} + 1)$

Étape 2.11.5.4

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} + 6 (- 2 x^{2}) + 6 \cdot 1$

Étape 2.11.5.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.11.5.5.1

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6 \cdot 1$

Étape 2.11.5.5.2

Multipliez $6$ par $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{4} - 24 x^{2} + 6 x^{4} - 12 x^{2} + 6$

Étape 2.11.6

Additionnez $24 x^{4}$ et $6 x^{4}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 24 x^{2} - 12 x^{2} + 6$

Étape 2.11.7

Soustrayez $12 x^{2}$ de $- 24 x^{2}$ .

$f'' (x) = 30 x^{4} - 36 x^{2} + 6$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2} - 1$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Étape 4.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Étape 4.1.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)$

Étape 4.1.2.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)$

Étape 4.1.2.4.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$

Étape 4.1.2.4.3

Réorganisez les facteurs de $6 {(x^{2} - 1)}^{2} x$ .

$f' (x) = 6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.3

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 5.4

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Définissez ${(x^{2} - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2

Résolvez ${(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

${(x^{2} - 1^{2})}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.1.2

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 1$ .

${((x + 1) (x - 1))}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.1.3

Appliquez la règle de produit à $(x + 1) (x - 1)$ .

${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.3

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.1

Définissez ${(x + 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x + 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.3.2

Résolvez ${(x + 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.3.2.1

Définissez le $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 5.4.2.3.2.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 5.4.2.4

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.1

Définissez ${(x - 1)}^{2}$ égal à $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Étape 5.4.2.4.2

Résolvez ${(x - 1)}^{2} = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.4.2.1

Définissez le $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 5.4.2.4.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 5.4.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent ${(x + 1)}^{2} {(x - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = - 1, 1$

Étape 5.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x {(x^{2} - 1)}^{2} = 0$ vraie.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 0, - 1, 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 0$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(0)}^{4} - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$30 \cdot 0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 9.1.2

Multipliez $30$ par $0$ .

$0 - 36 {(0)}^{2} + 6$

Étape 9.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 36 \cdot 0 + 6$

Étape 9.1.4

Multipliez $- 36$ par $0$ .

$0 + 0 + 6$

Étape 9.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 9.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 6$

Étape 9.2.2

Additionnez $0$ et $6$ .

$6$

Étape 10

$x = 0$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{3}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 11.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f (0) = {(0 - 1)}^{3}$

Étape 11.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$f (0) = {(- 1)}^{3}$

Étape 11.2.3

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (0) = - 1$

Étape 11.2.4

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$30 {(- 1)}^{4} - 36 {(- 1)}^{2} + 6$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$30 \cdot 1 - 36 {(- 1)}^{2} + 6$

Étape 13.1.2

Multipliez $30$ par $1$ .

$30 - 36 {(- 1)}^{2} + 6$

Étape 13.1.3

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$30 - 36 \cdot 1 + 6$

Étape 13.1.4

Multipliez $- 36$ par $1$ .

$30 - 36 + 6$

Étape 13.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 13.2.1

Soustrayez $36$ de $30$ .

$- 6 + 6$

Étape 13.2.2

Additionnez $- 6$ et $6$ .

$0$

Étape 14

Comme il y a au moins un point avec $0$ ou une dérivée seconde indéfinie, appliquez le test de la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 14.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - 1)$ dans la dérivée première $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 6 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.2.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.2.2.1

Multipliez $6$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = - 24 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.2.2.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 24 {(16 - 1)}^{2}$

Étape 14.2.2.3

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 15^{2}$

Étape 14.2.2.4

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = - 24 \cdot 225$

Étape 14.2.2.5

Multipliez $- 24$ par $225$ .

$f' (- 4) = - 5400$

Étape 14.2.2.6

La réponse finale est $- 5400$ .

$- 5400$

Étape 14.3

Remplacez tout nombre, tel que $- 0.5$ , de l’intervalle $(- 1, 0)$ dans la dérivée première $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.1

Remplacez la variable $x$ par $- 0.5$ dans l’expression.

$f' (- 0.5) = 6 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.3.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.3.2.1

Multipliez $6$ par $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 3 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.3.2.2

Élevez $- 0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.5) = - 3 {(0.25 - 1)}^{2}$

Étape 14.3.2.3

Soustrayez $1$ de $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 3 {(- 0.75)}^{2}$

Étape 14.3.2.4

Élevez $- 0.75$ à la puissance $2$ .

$f' (- 0.5) = - 3 \cdot 0.5625$

Étape 14.3.2.5

Multipliez $- 3$ par $0.5625$ .

$f' (- 0.5) = - 1.6875$

Étape 14.3.2.6

La réponse finale est $- 1.6875$ .

$- 1.6875$

Étape 14.4

Remplacez tout nombre, tel que $0.5$ , de l’intervalle $(0, 1)$ dans la dérivée première $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.1

Remplacez la variable $x$ par $0.5$ dans l’expression.

$f' (0.5) = 6 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.4.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.4.2.1

Multipliez $6$ par $0.5$ .

$f' (0.5) = 3 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.4.2.2

Élevez $0.5$ à la puissance $2$ .

$f' (0.5) = 3 {(0.25 - 1)}^{2}$

Étape 14.4.2.3

Soustrayez $1$ de $0.25$ .

$f' (0.5) = 3 {(- 0.75)}^{2}$

Étape 14.4.2.4

Élevez $- 0.75$ à la puissance $2$ .

$f' (0.5) = 3 \cdot 0.5625$

Étape 14.4.2.5

Multipliez $3$ par $0.5625$ .

$f' (0.5) = 1.6875$

Étape 14.4.2.6

La réponse finale est $1.6875$ .

$1.6875$

Étape 14.5

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $6 x {(x^{2} - 1)}^{2}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 6 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.5.2

Simplifiez le résultat.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 14.5.2.1

Multipliez $6$ par $4$ .

$f' (4) = 24 {({(4)}^{2} - 1)}^{2}$

Étape 14.5.2.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 24 {(16 - 1)}^{2}$

Étape 14.5.2.3

Soustrayez $1$ de $16$ .

$f' (4) = 24 \cdot 15^{2}$

Étape 14.5.2.4

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 24 \cdot 225$

Étape 14.5.2.5

Multipliez $24$ par $225$ .

$f' (4) = 5400$

Étape 14.5.2.6

La réponse finale est $5400$ .

$5400$

Étape 14.6

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = - 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.7

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un minimum local.

$x = 0$ est un minimum local

Étape 14.8

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 14.9

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ .

$x = 0$ est un minimum local

Étape 15