Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 2 \sin^{2} (x)$ , $[\frac{π}{3}, 2 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$2 (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Étape 1.1.1.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$4 \sin (x) \cos (x)$

Étape 1.1.1.5

Réorganisez les facteurs de $4 \sin (x) \cos (x)$ .

$f' (x) = 4 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 \cos (x) \sin (x)$ .

$4 \cos (x) \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 \cos (x) \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Définissez $\cos (x)$ égal à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $\cos (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.1

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.2.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.3

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.4.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.4.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.4.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.3.2.4.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.3.2.5

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.3.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.3.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.3.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.3.2.6

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.4

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.1

Définissez $\sin (x)$ égal à $0$ .

$\sin (x) = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $\sin (x) = 0$ pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.1

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (0)$

Étape 1.2.4.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.2.1

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.4.2.3

La fonction sinus est positive dans les premier et deuxième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $π$ pour déterminer la solution dans le deuxième quadrant.

$x = π - 0$

Étape 1.2.4.2.4

Soustrayez $0$ de $π$ .

$x = π$

Étape 1.2.4.2.5

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.4.2.5.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.4.2.5.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.4.2.5.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.4.2.5.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.4.2.6

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 \cos (x) \sin (x) = 0$ vraie.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, 2 π n, π + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.6

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π n}{2}$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $2 \sin^{2} (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$2 \sin^{2} (0)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Étape 1.4.1.2.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 1.4.1.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$2 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$2 \cdot 1^{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0 + π n, 0), (\frac{π}{2} + π n, 2)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(π, 0), (2 π, 0), (\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{3}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{3}$ .

$2 \sin^{2} (\frac{π}{3})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{3})$ est $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 {(\frac{\sqrt{3}}{2})}^{2}$

Étape 3.1.2.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$2 \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{3^{1}}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.3.5

Évaluez l’exposant.

$2 \frac{3}{2^{2}}$

Étape 3.1.2.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$2 (\frac{3}{4})$

Étape 3.1.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$2 \frac{3}{2 (2)}$

Étape 3.1.2.5.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3}{2 \cdot 2}$

Étape 3.1.2.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{2}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$2 \sin^{2} (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$2 \sin^{2} (0)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$2 \cdot 0^{2}$

Étape 3.2.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 3.2.2.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{3}, \frac{3}{2}), (2 π, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{2}, 2), (\frac{3 π}{2}, 2)$

Minimum absolu : $(π, 0), (2 π, 0)$

Étape 5