Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{8 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

$8 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$8 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 2$ .

$8 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$8 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.3

Associez $8$ et $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{8 (2 x \cdot x) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{8 (2 (x \cdot x)) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{8 (2 x^{2}) + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.2

Multipliez $2$ par $8$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (2 \cdot - 2 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{16 x^{2} + 8 (- 4 x) + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x + 8 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{16 x^{2} - 32 x - 8 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.2

Soustrayez $8 x^{2}$ de $16 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{2} - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{2} - 32 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.4.5.1

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x^{2}$ .

$\frac{8 x (x) - 32 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5.2

Factorisez $8 x$ à partir de $- 32 x$ .

$\frac{8 x (x) + 8 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5.3

Factorisez $8 x$ à partir de $8 x (x) + 8 x (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$8 x (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $8 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{8 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{8 x^{2}}{x - 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{8 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $(0) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 {(0)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Étape 1.4.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Étape 1.4.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{0 - 1}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Divisez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{8 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $(4) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 {(4)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Étape 1.4.2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Étape 1.4.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Étape 1.4.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.2

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Multipliez $4$ par ${(4)}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$\frac{4^{1} {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{4^{1 + 2}}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{4^{3}}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.3

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{64}{1}$

Étape 1.4.2.2.5

Divisez $64$ par $1$ .

$64$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{8 {(2)}^{2}}{0}$

Étape 1.4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (4, 64)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 0)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{8 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun à $8$ et $(- 2) - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8 {(- 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Étape 3.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (4 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Étape 3.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{4 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{4 \cdot 4}{- 2}$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $4$ par $4$ .

$\frac{16}{- 2}$

Étape 3.1.2.2.4

Divisez $16$ par $- 2$ .

$- 8$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{8 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{8 \cdot 1}{1 - 2}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{8 \cdot 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8}{- 1}$

Étape 3.2.2.4

Divisez $8$ par $- 1$ .

$- 8$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 8), (1, - 8)$

Étape 4

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 0)$

Minimum absolu : $(- 2, - 8), (1, - 8)$

Étape 5