Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 1}$ on $- 4$ , $0$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.9

Associez $4$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10

Simplifiez

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Étape 1.1.1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.1.10.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4}{{(x^{2} + 1)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$- 4 x^{2} + 4 = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 x^{2} = - 4$

Étape 1.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- 4 x^{2} = - 4$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 4}{- 4}$

Étape 1.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.2.3.1

Divisez $- 4$ par $- 4$ .

$x^{2} = 1$

Étape 1.2.3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 1.2.3.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 1.2.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 1.2.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 1.2.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{4 x}{x^{2} + 1}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{4 (1)}{{(1)}^{2} + 1}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{4}{1^{2} + 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{4}{1 + 1}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{4}{2}$

Étape 1.4.1.2.3

Divisez $4$ par $2$ .

$2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{4 (- 1)}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{- 4}{{(- 1)}^{2} + 1}$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4}{1 + 1}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 4}{2}$

Étape 1.4.2.2.3

Divisez $- 4$ par $2$ .

$- 2$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 2), (- 1, - 2)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(- 1, - 2)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{4 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Multipliez $4$ par $- 4$ .

$\frac{- 16}{{(- 4)}^{2} + 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 16}{16 + 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $16$ et $1$ .

$\frac{- 16}{17}$

Étape 3.1.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{16}{17}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{4 (0)}{{(0)}^{2} + 1}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0}{0^{2} + 1}$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0 + 1}$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 3.2.2.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, - \frac{16}{17}), (0, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 0)$

Minimum absolu : $(- 1, - 2)$

Étape 5