Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{320}{x}$ ; $(0, \infty)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{320}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{320}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $320$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{320}{x}$ par rapport à $x$ est $320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 320 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 320 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $320$ .

$2 x - 320 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 320 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez $- 320$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 320}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 1.2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{320}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{320}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 320}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 320 = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 320 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Ajoutez $320$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 320$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $320$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 320 = 0$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 320$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 320 = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 320$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 160 = 0$

Étape 1.2.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 160$ .

$2 (x^{3} - 160) = 0$

Étape 1.2.4.4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 160) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 160) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 160)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 160$ par $1$ .

$x^{3} - 160 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 160 = 0$

Étape 1.2.4.5

Ajoutez $160$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 160$

Étape 1.2.4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{160}$

Étape 1.2.4.7

Simplifiez $\sqrt[3]{160}$ .

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Étape 1.2.4.7.1

Réécrivez $160$ comme $2^{3} \cdot 20$ .

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Étape 1.2.4.7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $160$ .

$x = \sqrt[3]{8 (20)}$

Étape 1.2.4.7.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 20}$

Étape 1.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{320}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} + \frac{320}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2 \sqrt[3]{20}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2 \sqrt[3]{20}$ .

${(2 \sqrt[3]{20})}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{20}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {\sqrt[3]{20}}^{2} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{20^{2}} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$4 \sqrt[3]{400} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.5

Réécrivez $400$ comme $2^{3} \cdot 50$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$4 \sqrt[3]{8 (50)} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$4 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.6

Extrayez les termes de sous le radical.

$4 (2 \sqrt[3]{50}) + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.7

Multipliez $2$ par $4$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{320}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $320$ et $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.8.1

Factorisez $2$ à partir de $320$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{20}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 (\sqrt[3]{20})}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{2 \cdot 160}{2 \sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}}$

Étape 1.4.1.2.1.9

Multipliez $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160}{\sqrt[3]{20}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.10

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.1.10.1

Multipliez $\frac{160}{\sqrt[3]{20}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{\sqrt[3]{20} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.2

Élevez $\sqrt[3]{20}$ à la puissance $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1} {\sqrt[3]{20}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{1 + 2}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{\sqrt[3]{20}}^{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{20}}^{3}$ comme $20$ .

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Étape 1.4.1.2.1.10.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{20}$ comme $20^{\frac{1}{3}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{{(20^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.10.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{\frac{3}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20^{1}}$

Étape 1.4.1.2.1.10.5.5

Évaluez l’exposant.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{160 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{20}$

Étape 1.4.1.2.1.11

Annulez le facteur commun à $160$ et $20$ .

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Étape 1.4.1.2.1.11.1

Factorisez $20$ à partir de $160 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20}$

Étape 1.4.1.2.1.11.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.11.2.1

Factorisez $20$ à partir de $20$ .

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 (1)}$

Étape 1.4.1.2.1.11.2.2

Annulez le facteur commun.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{20 (8 {\sqrt[3]{20}}^{2})}{20 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2.1.11.2.3

Réécrivez l’expression.

$8 \sqrt[3]{50} + \frac{8 {\sqrt[3]{20}}^{2}}{1}$

Étape 1.4.1.2.1.11.2.4

Divisez $8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$ par $1$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 {\sqrt[3]{20}}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.12

Réécrivez ${\sqrt[3]{20}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{20^{2}}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{20^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.13

Élevez $20$ à la puissance $2$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{400}$

Étape 1.4.1.2.1.14

Réécrivez $400$ comme $2^{3} \cdot 50$ .

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Étape 1.4.1.2.1.14.1

Factorisez $8$ à partir de $400$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{8 (50)}$

Étape 1.4.1.2.1.14.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 8 \sqrt[3]{2^{3} \cdot 50}$

Étape 1.4.1.2.1.15

Extrayez les termes de sous le radical.

$8 \sqrt[3]{50} + 8 (2 \sqrt[3]{50})$

Étape 1.4.1.2.1.16

Multipliez $2$ par $8$ .

$8 \sqrt[3]{50} + 16 \sqrt[3]{50}$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $8 \sqrt[3]{50}$ et $16 \sqrt[3]{50}$ .

$24 \sqrt[3]{50}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{320}{0}$

Étape 1.4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{20}) \cup (2 \sqrt[3]{20}, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 2 \sqrt[3]{20})$ dans la dérivée première $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{320}{4}$

Étape 2.2.2.1.3

Divisez $320$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 80$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $80$ .

$f' (- 2) = - 4 - 80$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $80$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 84$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 84$ .

$- 84$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $8$ , de l’intervalle $(2 \sqrt[3]{20}, \infty)$ dans la dérivée première $2 x - \frac{320}{x^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $8$ dans l’expression.

$f' (8) = 2 (8) - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $8$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{{(8)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$f' (8) = 16 - \frac{320}{64}$

Étape 2.3.2.1.3

Divisez $320$ par $64$ .

$f' (8) = 16 - 1 \cdot 5$

Étape 2.3.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$f' (8) = 16 - 5$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $5$ de $16$ .

$f' (8) = 11$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $11$ .

$11$

Étape 2.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2 \sqrt[3]{20}$ , $x = 2 \sqrt[3]{20}$ est un minimum local.

$x = 2 \sqrt[3]{20}$ est un minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(2 \sqrt[3]{20}, 24 \sqrt[3]{50})$

Étape 4