Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ ; $(0, \infty)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 x$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + \frac{d}{d x} [8]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} + 2 x - 5$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 2 x - 5$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} + 2 x - 5$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} + 2 x - 5 = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez par regroupement.

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Étape 1.2.2.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ et dont la somme est $b = 2$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 x^{2} + 2 (x) - 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Réécrivez $2$ comme $- 3$ plus $5$

$3 x^{2} + (- 3 + 5) x - 5 = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 3 x + 5 x - 5 = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 1.2.2.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$(3 x^{2} - 3 x) + 5 x - 5 = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$3 x (x - 1) + 5 (x - 1) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $x - 1$ .

$(x - 1) (3 x + 5) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x - 1 = 0$

$3 x + 5 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x - 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $x - 1$ égal à $0$ .

$x - 1 = 0$

Étape 1.2.4.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 1$

Étape 1.2.5

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $3 x + 5$ égal à $0$ .

$3 x + 5 = 0$

Étape 1.2.5.2

Résolvez $3 x + 5 = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.5.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$3 x = - 5$

Étape 1.2.5.2.2

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.5.2.2.1

Divisez chaque terme dans $3 x = - 5$ par $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.5.2.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.5.2.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.5.2.2.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Étape 1.2.5.2.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$x = - \frac{5}{3}$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $(x - 1) (3 x + 5) = 0$ vraie.

$x = 1, - \frac{5}{3}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + {(1)}^{2} - 5 \cdot 1 + 8$

Étape 1.4.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 + 1 - 5 \cdot 1 + 8$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$1 + 1 - 5 + 8$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 - 5 + 8$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $5$ de $2$ .

$- 3 + 8$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $- 3$ et $8$ .

$5$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - \frac{5}{3}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- \frac{5}{3}$ .

${(- \frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} {(\frac{5}{3})}^{3} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

${(- 1)}^{3} \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$- \frac{5^{3}}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $5$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{3^{3}} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$- \frac{125}{27} + {(- \frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.5

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 1.4.2.2.1.5.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} {(\frac{5}{3})}^{2} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.5.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + {(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + 1 \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.7

Multipliez $\frac{5^{2}}{3^{2}}$ par $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{5^{2}}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{3^{2}} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.9

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} - 5 (- \frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.10

Multipliez $- 5 (- \frac{5}{3})$ .

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Étape 1.4.2.2.1.10.1

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + 5 (\frac{5}{3}) + 8$

Étape 1.4.2.2.1.10.2

Associez $5$ et $\frac{5}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{5 \cdot 5}{3} + 8$

Étape 1.4.2.2.1.10.3

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} + \frac{25}{3} + 8$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25}{9} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{3} + 8$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{25}{9}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} + 8$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25}{3} \cdot \frac{9}{9} + 8$

Étape 1.4.2.2.2.4

Multipliez $\frac{25}{3}$ par $\frac{9}{9}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + 8$

Étape 1.4.2.2.2.5

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.7

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{27}{27}$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $9 \cdot 3$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.9

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{3 \cdot 9} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.2.10

Multipliez $3$ par $9$ .

$- \frac{125}{27} + \frac{25 \cdot 3}{27} + \frac{25 \cdot 9}{27} + \frac{8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 125 + 25 \cdot 3 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $25$ par $3$ .

$\frac{- 125 + 75 + 25 \cdot 9 + 8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $25$ par $9$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 8 \cdot 27}{27}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Multipliez $8$ par $27$ .

$\frac{- 125 + 75 + 225 + 216}{27}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Additionnez $- 125$ et $75$ .

$\frac{- 50 + 225 + 216}{27}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Additionnez $- 50$ et $225$ .

$\frac{175 + 216}{27}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Additionnez $175$ et $216$ .

$\frac{391}{27}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, 5), (- \frac{5}{3}, \frac{391}{27})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(1, 5)$

Étape 3

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 3.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, - \frac{5}{3}) \cup (- \frac{5}{3}, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 3.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 4$ , de l’intervalle $(- \infty, - \frac{5}{3})$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 2 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 4$ dans l’expression.

$f' (- 4) = 3 {(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 5$

Étape 3.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$f' (- 4) = 3 \cdot 16 + 2 (- 4) - 5$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (- 4) = 48 + 2 (- 4) - 5$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$f' (- 4) = 48 - 8 - 5$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en soustrayant des nombres.

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Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $8$ de $48$ .

$f' (- 4) = 40 - 5$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $5$ de $40$ .

$f' (- 4) = 35$

Étape 3.2.2.3

La réponse finale est $35$ .

$35$

Étape 3.3

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \frac{5}{3}, 1)$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 2 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.3.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} + 2 (0) - 5$

Étape 3.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 + 2 (0) - 5$

Étape 3.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 (0) - 5$

Étape 3.3.2.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 - 5$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.3.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$f' (0) = 0 - 5$

Étape 3.3.2.2.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$f' (0) = - 5$

Étape 3.3.2.3

La réponse finale est $- 5$ .

$- 5$

Étape 3.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} + 2 x - 5$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 3.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} + 2 (4) - 5$

Étape 3.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 3.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 + 2 (4) - 5$

Étape 3.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 + 2 (4) - 5$

Étape 3.4.2.1.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = 48 + 8 - 5$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.4.2.2.1

Additionnez $48$ et $8$ .

$f' (4) = 56 - 5$

Étape 3.4.2.2.2

Soustrayez $5$ de $56$ .

$f' (4) = 51$

Étape 3.4.2.3

La réponse finale est $51$ .

$51$

Étape 3.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = - \frac{5}{3}$ , $x = - \frac{5}{3}$ est un maximum local.

$x = - \frac{5}{3}$ est un maximum local

Étape 3.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 3.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} + x^{2} - 5 x + 8$ .

$x = - \frac{5}{3}$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

$x = - \frac{5}{3}$ est un maximum local

$x = 1$ est un minimum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(1, 5)$

Étape 5