Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = e^{- x^{4}}$ , $- 2 \leq x \leq 1$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = - x^{4}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- x^{4}$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x^{4}$ .

$e^{- x^{4}} \frac{d}{d x} [- x^{4}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{4}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$e^{- x^{4}} (- \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$e^{- x^{4}} (- (4 x^{3}))$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réorganisez les facteurs de $e^{- x^{4}} (- 4 x^{3})$ .

$- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$

Étape 1.1.1.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- 4 e^{- x^{4}} x^{3}$ .

$f' (x) = - 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$

Étape 1.2.2

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x^{3} = 0$

$e^{- x^{4}} = 0$

Étape 1.2.3

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Définissez $x^{3}$ égal à $0$ .

$x^{3} = 0$

Étape 1.2.3.2

Résolvez $x^{3} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{0}$

Étape 1.2.3.2.2

Simplifiez $\sqrt[3]{0}$ .

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Étape 1.2.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.2.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$x = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $e^{- x^{4}}$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.4.1

Définissez $e^{- x^{4}}$ égal à $0$ .

$e^{- x^{4}} = 0$

Étape 1.2.4.2

Résolvez $e^{- x^{4}} = 0$ pour $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- x^{4}}) = \ln (0)$

Étape 1.2.4.2.2

L’équation ne peut pas être résolue car $\ln (0)$ est indéfini.

Indéfini

Étape 1.2.4.2.3

Il n’y a pas de solution pour $e^{- x^{4}} = 0$

Aucune solution

Étape 1.2.5

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $- 4 x^{3} e^{- x^{4}} = 0$ vraie.

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $e^{- x^{4}}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$e^{- {(0)}^{4}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 0}$

Étape 1.4.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 1.4.1.2.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 1)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$e^{- {(- 2)}^{4}}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$e^{- 1 \cdot 16}$

Étape 2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $16$ .

$e^{- 16}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{16}}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$e^{- {(1)}^{4}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{- 1 \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{- 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, \frac{1}{e^{16}}), (1, \frac{1}{e})$

Étape 3

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 1)$

Minimum absolu : $(- 2, \frac{1}{e^{16}})$

Étape 4