Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = \frac{6 x^{2}}{x - 2}$ , $[- 2, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x^{2}}{x - 2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{x - 2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = x - 2$ .

$6 \frac{(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Différenciez.

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Étape 1.1.1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{(x - 2) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x - 2$ .

$6 \frac{2 \cdot (x - 2) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x - 2]}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 2])}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} (1 + 0)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2} \cdot 1}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 \frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.6.3

Associez $6$ et $\frac{2 (x - 2) x - x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{6 (2 (x - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4

Simplifiez

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Étape 1.1.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 ((2 x + 2 \cdot - 2) x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x \cdot x + 2 \cdot - 2 x - x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 (2 x \cdot x) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.4.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.1.4.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.1.1.4.4.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{6 (2 (x \cdot x)) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{6 (2 x^{2}) + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 (2 \cdot - 2 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{12 x^{2} + 6 (- 4 x) + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.4

Multipliez $- 4$ par $6$ .

$\frac{12 x^{2} - 24 x + 6 (- x^{2})}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.1.5

Multipliez $- 1$ par $6$ .

$\frac{12 x^{2} - 24 x - 6 x^{2}}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.4.2

Soustrayez $6 x^{2}$ de $12 x^{2}$ .

$\frac{6 x^{2} - 24 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2} - 24 x$ .

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Étape 1.1.1.4.5.1

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x^{2}$ .

$\frac{6 x (x) - 24 x}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5.2

Factorisez $6 x$ à partir de $- 24 x$ .

$\frac{6 x (x) + 6 x (- 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.1.4.5.3

Factorisez $6 x$ à partir de $6 x (x) + 6 x (- 4)$ .

$f' (x) = \frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ .

$\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$6 x (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 1.2.3.1

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.3.2

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.3.3

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.3.3.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.3.3.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.3.4

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $6 x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{6 x (x - 4)}{{(x - 2)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x - 2)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.3.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{6 x^{2}}{x - 2}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{6 {(0)}^{2}}{(0) - 2}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $(0) - 2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(0)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{(0) - 2}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 (0) - 2}$

Étape 1.4.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 0 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Étape 1.4.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 {(0)}^{2})}{2 \cdot (0 - 1)}$

Étape 1.4.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(0)}^{2}}{0 - 1}$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{0 - 1}$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{3 \cdot 0}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0}{- 1}$

Étape 1.4.1.2.2.4

Divisez $0$ par $- 1$ .

$0$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{6 {(4)}^{2}}{(4) - 2}$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $(4) - 2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(4)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{(4) - 2}$

Étape 1.4.2.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 (2) - 2}$

Étape 1.4.2.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1}$

Étape 1.4.2.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 2 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Étape 1.4.2.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 {(4)}^{2})}{2 \cdot (2 - 1)}$

Étape 1.4.2.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(4)}^{2}}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{2 - 1}$

Étape 1.4.2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{48}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.4

Divisez $48$ par $1$ .

$48$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{6 {(2)}^{2}}{(2) - 2}$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{6 {(2)}^{2}}{0}$

Étape 1.4.3.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (4, 48)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 0)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{6 {(- 2)}^{2}}{(- 2) - 2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $(- 2) - 2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 {(- 2)}^{2}$ .

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{(- 2) - 2}$

Étape 3.1.2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 (- 1) - 2}$

Étape 3.1.2.1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1}$

Étape 3.1.2.1.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 1 + 2 \cdot - 1$ .

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Étape 3.1.2.1.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (3 {(- 2)}^{2})}{2 \cdot (- 1 - 1)}$

Étape 3.1.2.1.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 {(- 2)}^{2}}{- 1 - 1}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\frac{3 \cdot 4}{- 1 - 1}$

Étape 3.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$\frac{3 \cdot 4}{- 2}$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{12}{- 2}$

Étape 3.1.2.2.4

Divisez $12$ par $- 2$ .

$- 6$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{6 {(1)}^{2}}{(1) - 2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{6 \cdot 1}{1 - 2}$

Étape 3.2.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{6 \cdot 1}{- 1}$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6}{- 1}$

Étape 3.2.2.4

Divisez $6$ par $- 1$ .

$- 6$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - 6), (1, - 6)$

Étape 4

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 0)$

Minimum absolu : $(- 2, - 6), (1, - 6)$

Étape 5