Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (1 - \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (\frac{d}{d x} (1) + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (0 + \frac{d}{d x} (- \ln (x))) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.2.4

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (- \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{d}{d x} \ln (x)) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.3

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (- \frac{1}{x}) - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 2.4.1

Associez $x^{2}$ et $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x^{2}}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x \cdot x}{x \cdot 1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- \frac{x}{1} - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.2.2.5

Divisez $x$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{- x - (1 - \ln (x)) (2 x)}{x^{4}}$

Étape 2.4.4

Simplifiez en factorisant.

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Étape 2.4.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- x - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x - 2 (1 - \ln (x)) x$ .

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Étape 2.4.4.2.1

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 - 2 (1 - \ln (x)) x}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 2 (1 - \ln (x)) x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.4.4.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot - 1 + x (- 2 (1 - \ln (x)))$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x^{4}}$

Étape 2.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.5.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.5.2

Annulez le facteur commun.

$f'' (x) = \frac{x (- 1 - 2 (1 - \ln (x)))}{x \cdot x^{3}}$

Étape 2.5.3

Réécrivez l’expression.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 (1 - \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 \cdot 1 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.6.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.6.2.1.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 - 2 (- \ln (x))}{x^{3}}$

Étape 2.6.2.1.2

Multipliez $- 2 (- \ln (x))$ .

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Étape 2.6.2.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + 2 \ln (x)}{x^{3}}$

Étape 2.6.2.1.2.2

Simplifiez $2 \ln (x)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$f'' (x) = \frac{- 1 - 2 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.6.2.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{- 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.6.3

Réécrivez $- 3$ comme $- 1 (3)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 + \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 2.6.4

Factorisez $- 1$ à partir de $\ln (x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 3 - 1 (- \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 2.6.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (3) - 1 (- \ln (x^{2}))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (3 - \ln (x^{2}))}{x^{3}}$

Étape 2.6.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f'' (x) = - \frac{3 - \ln (x^{2})}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 4.1.3.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 4.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{x}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - \ln (x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1 - \ln (x) \cdot 1}{x^{2}}$

Étape 4.1.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}} = 0$

Étape 5.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 - \ln (x) = 0$

Étape 5.3

Résolvez l’équation pour $x$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (x) = - 1$

Étape 5.3.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (x) = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $\ln (x)$ par $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$\ln (x) = 1$

Étape 5.3.3

Pour résoudre $x$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x)} = e^{1}$

Étape 5.3.4

Réécrivez $\ln (x) = 1$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{1} = x$

Étape 5.3.5

Réécrivez l’équation comme $x = e^{1}$ .

$x = e$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1 - \ln (x)}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 6.3

Définissez l’argument dans $\ln (x)$ inférieur ou égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x \leq 0$

Étape 6.4

L’équation est indéfinie là où le dénominateur est égal à $0$ , l’argument d’une racine carrée est inférieur à $0$ ou l’argument d’un logarithme est inférieur ou égal à $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = e$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = e$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$- \frac{3 - \ln ({(e)}^{2})}{{(e)}^{3}}$

Étape 9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $2$ de l’exposant.

$- \frac{3 - (2 \ln (e))}{e^{3}}$

Étape 9.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- \frac{3 - (2 \cdot 1)}{e^{3}}$

Étape 9.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{3 - 1 \cdot 2}{e^{3}}$

Étape 9.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- \frac{3 - 2}{e^{3}}$

Étape 9.5

Soustrayez $2$ de $3$ .

$- \frac{1}{e^{3}}$

Étape 10

$x = e$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = e$ est un maximum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = e$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $e$ dans l’expression.

$f (e) = \frac{\ln (e)}{e}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$f (e) = \frac{1}{e}$

Étape 11.2.2

La réponse finale est $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Étape 12

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = \frac{\ln (x)}{x}$ .

$(e, \frac{1}{e})$ est un maximum local

Étape 13