Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 27 x$ on $- 4$ , $4$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 27 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 27 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 27 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 27$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 27 x$ par rapport à $x$ est $- 27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 27 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 27 \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 27$ par $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 27$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 27$ .

$3 x^{2} - 27$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 27 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 27 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 27$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 27$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 27$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{27}{3}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{3}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $27$ par $3$ .

$x^{2} = 9$

Étape 1.2.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{9}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $\pm \sqrt{9}$ .

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Étape 1.2.5.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Étape 1.2.5.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 3$

Étape 1.2.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 1.2.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 3$

Étape 1.2.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 3$

Étape 1.2.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 3, - 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 27 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{3} - 27 \cdot 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 27 \cdot 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $3$ .

$27 - 81$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $81$ de $27$ .

$- 54$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 3$ .

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 3$ à la puissance $3$ .

$- 27 - 27 \cdot - 3$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $- 3$ .

$- 27 + 81$

Étape 1.4.2.2.2

Additionnez $- 27$ et $81$ .

$54$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(3, - 54), (- 3, 54)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

${(- 4)}^{3} - 27 \cdot - 4$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$- 64 - 27 \cdot - 4$

Étape 2.1.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $- 4$ .

$- 64 + 108$

Étape 2.1.2.2

Additionnez $- 64$ et $108$ .

$44$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

${(4)}^{3} - 27 \cdot 4$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$64 - 27 \cdot 4$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $- 27$ par $4$ .

$64 - 108$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $108$ de $64$ .

$- 44$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, 44), (4, - 44)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 3, 54)$

Minimum absolu : $(3, - 54)$

Étape 4