Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \cos (x) - x$ , $[\frac{π}{2}, 2 π]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \sin (x) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x) - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \sin (x) - 1$

Étape 1.1.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - 1 - \sin (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- 1 - \sin (x)$ .

$- 1 - \sin (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 1 - \sin (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 1 - \sin (x) = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$- \sin (x) = 1$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- \sin (x) = 1$ par $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.3.2.2

Divisez $\sin (x)$ par $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Étape 1.2.4

Prenez le sinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du sinus.

$x = \arcsin (- 1)$

Étape 1.2.5

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.5.1

La valeur exacte de $\arcsin (- 1)$ est $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.6

La fonction sinus est négative dans les troisième et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez la solution de $2 π$ pour déterminer un angle de référence. Ajoutez ensuite cet angle de référence à $π$ pour déterminer la solution dans le troisième quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Étape 1.2.7

Simplifiez l’expression pour déterminer la deuxième solution.

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Étape 1.2.7.1

Soustrayez $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Étape 1.2.7.2

L’angle résultant de $\frac{3 π}{2}$ est positif, inférieur à $2 π$ et coterminal avec $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.8

Déterminez la période de $\sin (x)$ .

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Étape 1.2.8.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.8.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.8.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.8.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.9

Ajoutez $2 π$ à chaque angle négatif pour obtenir des angles positifs.

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Étape 1.2.9.1

Ajoutez $2 π$ à $- \frac{π}{2}$ pour déterminer l’angle positif.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Étape 1.2.9.2

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.9.3

Associez les fractions.

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Étape 1.2.9.3.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.9.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.9.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.9.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.9.4.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.9.5

Indiquez les nouveaux angles.

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.10

La période de la fonction $\sin (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.11

Consolidez les réponses.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\cos (x) - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.1.2.1.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $\frac{3 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{3 π}{2}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{7 π}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{7 π}{2}$ .

$\cos (\frac{7 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Étape 1.4.2.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{7 π}{2})$

Étape 1.4.2.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{7 π}{2}$

Étape 1.4.2.2.2

Soustrayez $\frac{7 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{7 π}{2}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = \frac{11 π}{2}$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $\frac{11 π}{2}$ .

$\cos (\frac{11 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Étape 1.4.3.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{11 π}{2})$

Étape 1.4.3.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{11 π}{2}$

Étape 1.4.3.2.2

Soustrayez $\frac{11 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11 π}{2}$

Étape 1.4.4

Évaluez sur $x = \frac{15 π}{2}$ .

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Étape 1.4.4.1

Remplacez $x$ par $\frac{15 π}{2}$ .

$\cos (\frac{15 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Étape 1.4.4.2

Simplifiez

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Étape 1.4.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.4.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Étape 1.4.4.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{15 π}{2})$

Étape 1.4.4.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{15 π}{2}$

Étape 1.4.4.2.2

Soustrayez $\frac{15 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{15 π}{2}$

Étape 1.4.5

Évaluez sur $x = \frac{19 π}{2}$ .

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Étape 1.4.5.1

Remplacez $x$ par $\frac{19 π}{2}$ .

$\cos (\frac{19 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Étape 1.4.5.2

Simplifiez

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Étape 1.4.5.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.5.2.1.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (\frac{3 π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Étape 1.4.5.2.1.2

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{19 π}{2})$

Étape 1.4.5.2.1.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{19 π}{2}$

Étape 1.4.5.2.2

Soustrayez $\frac{19 π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{19 π}{2}$

Étape 1.4.6

Indiquez tous les points.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2}), (\frac{7 π}{2}, - \frac{7 π}{2}), (\frac{11 π}{2}, - \frac{11 π}{2}), (\frac{15 π}{2}, - \frac{15 π}{2}), (\frac{19 π}{2}, - \frac{19 π}{2})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{3 π}{2}, - \frac{3 π}{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\cos (\frac{π}{2}) - (\frac{π}{2})$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 - \frac{π}{2}$

Étape 3.1.2.2

Soustrayez $\frac{π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{π}{2}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$\cos (2 π) - (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\cos (0) - (2 π)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 - (2 π)$

Étape 3.2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 - 2 π$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2}), (2 π, 1 - 2 π)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{2}, - \frac{π}{2})$

Minimum absolu : $(2 π, 1 - 2 π)$

Étape 5