Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x + 1$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 3$ et $0$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 3)$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $6 x$ et $0$ .

$f'' (x) = 6 x$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$3 x^{2} - 3 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Étape 4.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.2.3

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$3 x^{2} - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.1.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 3 + 0$

Étape 4.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 3$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 3$ .

$3 x^{2} - 3$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 3 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 3 = 0$

Étape 5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} = 3$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $3 x^{2} = 3$ par $3$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{3}{3}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{3}{3}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Divisez $3$ par $3$ .

$x^{2} = 1$

Étape 5.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.6

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.6.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.6.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.6.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (1)$

Étape 9

Multipliez $6$ par $1$ .

$6$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = {(1)}^{3} - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f (1) = 1 - 3 \cdot 1 + 1$

Étape 11.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$f (1) = 1 - 3 + 1$

Étape 11.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 11.2.2.1

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f (1) = - 2 + 1$

Étape 11.2.2.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$f (1) = - 1$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $- 1$ .

$y = - 1$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$6 (- 1)$

Étape 13

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$- 6$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = {(- 1)}^{3} - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$f (- 1) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 1$

Étape 15.2.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 + 3 + 1$

Étape 15.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 15.2.2.1

Additionnez $- 1$ et $3$ .

$f (- 1) = 2 + 1$

Étape 15.2.2.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$f (- 1) = 3$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $3$ .

$y = 3$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 3 x + 1$ .

$(1, - 1)$ est un minimum local

$(- 1, 3)$ est un maximum local

Étape 17