Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 2$ on interval $- 1$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 x^{3} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$4 x^{3} - 16 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 x^{3} - 16 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $4 x^{3} - 16 x$ et $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $4 x^{3} - 16 x$ .

$4 x^{3} - 16 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $4 x^{3} - 16 x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$4 x^{3} - 16 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3} - 16 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $4 x$ à partir de $- 16 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 4) = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $4 x$ à partir de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 4)$ .

$4 x (x^{2} - 4) = 0$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.2.3.1

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = x$ et $b = 2$ .

$4 x ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Étape 1.2.2.3.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$4 x (x + 2) (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x + 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.5.1

Définissez $x + 2$ égal à $0$ .

$x + 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $2$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 2$

Étape 1.2.6

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.6.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.6.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $4 x (x + 2) (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, - 2, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{4} - 8 x^{2} + 2$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2} + 2$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 {(0)}^{2} + 2$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 8 \cdot 0 + 2$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$0 + 0 + 2$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 2$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$2$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

${(- 2)}^{4} - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(- 2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 + 2$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $2$ .

$- 14$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{4} - 8 {(2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $4$ .

$16 - 8 {(2)}^{2} + 2$

Étape 1.4.3.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$16 - 8 \cdot 4 + 2$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $4$ .

$16 - 32 + 2$

Étape 1.4.3.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.1

Soustrayez $32$ de $16$ .

$- 16 + 2$

Étape 1.4.3.2.2.2

Additionnez $- 16$ et $2$ .

$- 14$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 2), (- 2, - 14), (2, - 14)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 2), (2, - 14)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

${(- 1)}^{4} - 8 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 3.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$1 - 8 {(- 1)}^{2} + 2$

Étape 3.1.2.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$1 - 8 \cdot 1 + 2$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $1$ .

$1 - 8 + 2$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez $8$ de $1$ .

$- 7 + 2$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $- 7$ et $2$ .

$- 5$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

${(3)}^{4} - 8 {(3)}^{2} + 2$

Étape 3.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$81 - 8 {(3)}^{2} + 2$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$81 - 8 \cdot 9 + 2$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 8$ par $9$ .

$81 - 72 + 2$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.2.1

Soustrayez $72$ de $81$ .

$9 + 2$

Étape 3.2.2.2.2

Additionnez $9$ et $2$ .

$11$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 1, - 5), (3, 11)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(3, 11)$

Minimum absolu : $(2, - 14)$

Étape 5