Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ , $(- 2, 4)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [12]$

Étape 1.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $12$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 1.1.1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $3 x^{2} - 6 x$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $3 x^{2} - 6 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$3 x^{2} - 6 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2} - 6 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 6 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $3 x$ à partir de $- 6 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $3 x$ à partir de $3 x (x) + 3 x (- 2)$ .

$3 x (x - 2) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $3 x (x - 2) = 0$ vraie.

$x = 0, 2$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{3} - 3 x^{2} + 12$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 12$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3 {(0)}^{2} + 12$

Étape 1.4.1.2.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 3 \cdot 0 + 12$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $0$ .

$0 + 0 + 12$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 12$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $12$ .

$12$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 12$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - 3 {(2)}^{2} + 12$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - 3 \cdot 4 + 12$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$8 - 12 + 12$

Étape 1.4.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Soustrayez $12$ de $8$ .

$- 4 + 12$

Étape 1.4.2.2.2.2

Additionnez $- 4$ et $12$ .

$8$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 12), (2, 8)$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 0)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 6 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 3 {(- 2)}^{2} - 6 \cdot - 2$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = 3 \cdot 4 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.2.2.1.2

Multipliez $3$ par $4$ .

$f' (- 2) = 12 - 6 \cdot - 2$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = 12 + 12$

Étape 2.2.2.2

Additionnez $12$ et $12$ .

$f' (- 2) = 24$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $1$ , de l’intervalle $(0, 2)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 6 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f' (1) = 3 {(1)}^{2} - 6 \cdot 1$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$f' (1) = 3 \cdot 1 - 6 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 6 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$f' (1) = 3 - 6$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $6$ de $3$ .

$f' (1) = - 3$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $- 3$ .

$- 3$

Étape 2.4

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(2, \infty)$ dans la dérivée première $3 x^{2} - 6 x$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.4.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 6 \cdot 4$

Étape 2.4.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.4.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 6 \cdot 4$

Étape 2.4.2.1.2

Multipliez $3$ par $16$ .

$f' (4) = 48 - 6 \cdot 4$

Étape 2.4.2.1.3

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$f' (4) = 48 - 24$

Étape 2.4.2.2

Soustrayez $24$ de $48$ .

$f' (4) = 24$

Étape 2.4.2.3

La réponse finale est $24$ .

$24$

Étape 2.5

Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de $x = 0$ , $x = 0$ est un maximum local.

$x = 0$ est un maximum local

Étape 2.6

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2$ , $x = 2$ est un minimum local.

$x = 2$ est un minimum local

Étape 2.7

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 12$ .

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

$x = 0$ est un maximum local

$x = 2$ est un minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 12)$

Minimum absolu : $(2, 8)$

Étape 4