Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} + \frac{240}{x}$ ; $(0, \infty)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + \frac{240}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{240}{x}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $240$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{240}{x}$ par rapport à $x$ est $240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.1.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 x + 240 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.1.1.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 x + 240 (- x^{- 2})$

Étape 1.1.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $240$ .

$2 x - 240 x^{- 2}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 x - 240 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez $- 240$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 x + \frac{- 240}{x^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = 2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$1, x^{2}, 1$

Étape 1.2.2.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 1.2.3

Multiplier chaque terme dans $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.3.1

Multipliez chaque terme dans $2 x - \frac{240}{x^{2}} = 0$ par $x^{2}$ .

$2 x \cdot x^{2} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.2.1.1

Multipliez $x$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.2.3.2.1.1.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 (x^{2} x) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{2} x^{1}) - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{2 + 1} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.1.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$2 x^{3} - \frac{240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.2.3.2.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{240}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{- 240}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} - 240 = 0 x^{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Multipliez $0$ par $x^{2}$ .

$2 x^{3} - 240 = 0$

Étape 1.2.4

Résolvez l’équation.

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Étape 1.2.4.1

Ajoutez $240$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} = 240$

Étape 1.2.4.2

Soustrayez $240$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} - 240 = 0$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} - 240$ .

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Étape 1.2.4.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 (x^{3}) - 240 = 0$

Étape 1.2.4.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 240$ .

$2 x^{3} + 2 \cdot - 120 = 0$

Étape 1.2.4.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{3} + 2 \cdot - 120$ .

$2 (x^{3} - 120) = 0$

Étape 1.2.4.4

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 120) = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.4.4.1

Divisez chaque terme dans $2 (x^{3} - 120) = 0$ par $2$ .

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (x^{3} - 120)}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.2.1.2

Divisez $x^{3} - 120$ par $1$ .

$x^{3} - 120 = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.4.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.4.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x^{3} - 120 = 0$

Étape 1.2.4.5

Ajoutez $120$ aux deux côtés de l’équation.

$x^{3} = 120$

Étape 1.2.4.6

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \sqrt[3]{120}$

Étape 1.2.4.7

Simplifiez $\sqrt[3]{120}$ .

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Étape 1.2.4.7.1

Réécrivez $120$ comme $2^{3} \cdot 15$ .

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Étape 1.2.4.7.1.1

Factorisez $8$ à partir de $120$ .

$x = \sqrt[3]{8 (15)}$

Étape 1.2.4.7.1.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{2^{3} \cdot 15}$

Étape 1.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{240}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 1.3.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 1.3.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 1.3.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 1.3.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} + \frac{240}{x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 2 \sqrt[3]{15}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $2 \sqrt[3]{15}$ .

${(2 \sqrt[3]{15})}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $2 \sqrt[3]{15}$ .

$2^{2} {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$4 {\sqrt[3]{15}}^{2} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.3

Réécrivez ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{15^{2}} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.4

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{240}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.5

Annulez le facteur commun à $240$ et $2$ .

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Étape 1.4.1.2.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $240$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt[3]{15}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 (\sqrt[3]{15})}$

Étape 1.4.1.2.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{2 \cdot 120}{2 \sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}}$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120}{\sqrt[3]{15}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.4.1.2.1.7.1

Multipliez $\frac{120}{\sqrt[3]{15}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{\sqrt[3]{15} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.2

Élevez $\sqrt[3]{15}$ à la puissance $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1} {\sqrt[3]{15}}^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{1 + 2}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{\sqrt[3]{15}}^{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{15}}^{3}$ comme $15$ .

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Étape 1.4.1.2.1.7.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{15}$ comme $15^{\frac{1}{3}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{{(15^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.4.1.2.1.7.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{\frac{3}{3}}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15^{1}}$

Étape 1.4.1.2.1.7.5.5

Évaluez l’exposant.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{120 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{15}$

Étape 1.4.1.2.1.8

Annulez le facteur commun à $120$ et $15$ .

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Étape 1.4.1.2.1.8.1

Factorisez $15$ à partir de $120 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1.8.2.1

Factorisez $15$ à partir de $15$ .

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 (1)}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{15 (8 {\sqrt[3]{15}}^{2})}{15 \cdot 1}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$4 \sqrt[3]{225} + \frac{8 {\sqrt[3]{15}}^{2}}{1}$

Étape 1.4.1.2.1.8.2.4

Divisez $8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$ par $1$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 {\sqrt[3]{15}}^{2}$

Étape 1.4.1.2.1.9

Réécrivez ${\sqrt[3]{15}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{15^{2}}$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{15^{2}}$

Étape 1.4.1.2.1.10

Élevez $15$ à la puissance $2$ .

$4 \sqrt[3]{225} + 8 \sqrt[3]{225}$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $4 \sqrt[3]{225}$ et $8 \sqrt[3]{225}$ .

$12 \sqrt[3]{225}$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

${(0)}^{2} + \frac{240}{0}$

Étape 1.4.2.2

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 2 \sqrt[3]{15}) \cup (2 \sqrt[3]{15}, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 2 \sqrt[3]{15})$ dans la dérivée première $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = 2 (- 2) - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{{(- 2)}^{2}}$

Étape 2.2.2.1.2

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$f' (- 2) = - 4 - \frac{240}{4}$

Étape 2.2.2.1.3

Divisez $240$ par $4$ .

$f' (- 2) = - 4 - 1 \cdot 60$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $60$ .

$f' (- 2) = - 4 - 60$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $60$ de $- 4$ .

$f' (- 2) = - 64$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 64$ .

$- 64$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $7$ , de l’intervalle $(2 \sqrt[3]{15}, \infty)$ dans la dérivée première $2 x - \frac{240}{x^{2}}$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$f' (7) = 2 (7) - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.2.1.1

Multipliez $2$ par $7$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{{(7)}^{2}}$

Étape 2.3.2.1.2

Élevez $7$ à la puissance $2$ .

$f' (7) = 14 - \frac{240}{49}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $14$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = 14 \cdot \frac{49}{49} - \frac{240}{49}$

Étape 2.3.2.3

Associez $14$ et $\frac{49}{49}$ .

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49}{49} - \frac{240}{49}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (7) = \frac{14 \cdot 49 - 240}{49}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $14$ par $49$ .

$f' (7) = \frac{686 - 240}{49}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $240$ de $686$ .

$f' (7) = \frac{446}{49}$

Étape 2.3.2.6

La réponse finale est $\frac{446}{49}$ .

$\frac{446}{49}$

Étape 2.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 2 \sqrt[3]{15}$ , $x = 2 \sqrt[3]{15}$ est un minimum local.

$x = 2 \sqrt[3]{15}$ est un minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(2 \sqrt[3]{15}, 12 \sqrt[3]{225})$

Étape 4