Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt[3]{x + 4}$ ; $[- 4, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x + 4}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{\frac{1}{3}})$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ et $g (x) = x + 4$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.7

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot {(x + 4)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.7.2

Associez $\frac{1}{3}$ et ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{{(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.7.3

Placez ${(x + 4)}^{- \frac{2}{3}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{d}{d x} (x + 4)$

Étape 1.1.1.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 1.1.1.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + \frac{d}{d x} (4))$

Étape 1.1.1.10

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot (1 + 0)$

Étape 1.1.1.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.11.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Étape 1.1.1.11.2

Multipliez $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $1 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Appliquez la règle $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.

$\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$

Étape 1.3.2

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 1.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.

${(3 \sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 1.3.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{{(x + 4)}^{2}}$ comme ${(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.2.2.1

Simplifiez ${(3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 {(x + 4)}^{\frac{2}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 {({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3

Multipliez les exposants dans ${({(x + 4)}^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$27 {(x + 4)}^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.2.1.3.2.2

Réécrivez l’expression.

$27 {(x + 4)}^{2} = 0^{3}$

Étape 1.3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$27 {(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.3.3.3

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ par $27$ et simplifiez.

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Étape 1.3.3.3.1.1

Divisez chaque terme dans $27 {(x + 4)}^{2} = 0$ par $27$ .

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.3.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $27$ .

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Étape 1.3.3.3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{27 {(x + 4)}^{2}}{27} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.2.1.2

Divisez ${(x + 4)}^{2}$ par $1$ .

${(x + 4)}^{2} = \frac{0}{27}$

Étape 1.3.3.3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.3.3.3.1.3.1

Divisez $0$ par $27$ .

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.3.3.3.2

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.3.3.3.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.4

Évaluez $\sqrt[3]{x + 4}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 1.4.1.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 1.4.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(- 4, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\sqrt[3]{(- 4) + 4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Additionnez $- 4$ et $4$ .

$\sqrt[3]{0}$

Étape 2.1.2.2

Réécrivez $0$ comme $0^{3}$ .

$\sqrt[3]{0^{3}}$

Étape 2.1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$0$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\sqrt[3]{(4) + 4}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Additionnez $4$ et $4$ .

$\sqrt[3]{8}$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez $8$ comme $2^{3}$ .

$\sqrt[3]{2^{3}}$

Étape 2.2.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels.

$2$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, 0), (4, 2)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(4, 2)$

Minimum absolu : $(- 4, 0)$

Étape 4