Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3$ on $- 4$ , $3$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{1}{2} x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $4$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{4}{2}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5.2.4

Divisez $2 x^{3}$ par $1$ .

$2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{3}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- \frac{2}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{2}{3} x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 x^{3} - \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$2 x^{3} - 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez $- 3$ et $\frac{2}{3}$ .

$2 x^{3} + \frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$2 x^{3} + \frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.6

Associez $\frac{- 6}{3}$ et $x^{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 1.1.1.3.7.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6 x^{2}$ .

$2 x^{3} + \frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.7.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$2 x^{3} + \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 x^{3} + \frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.4

Divisez $- 2 x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.4.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.5

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 0$

Étape 1.1.1.5.2

Additionnez $2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3} - 2 x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$2 x (x^{2}) - 2 x^{2} - 4 x = 0$

Étape 1.2.2.1.2

Factorisez $2 x$ à partir de $- 2 x^{2}$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- x) - 4 x = 0$

Étape 1.2.2.1.3

Factorisez $2 x$ à partir de $- 4 x$ .

$2 x (x^{2}) + 2 x (- x) + 2 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.1.4

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2}) + 2 x (- x)$ .

$2 x (x^{2} - x) + 2 x (- 2) = 0$

Étape 1.2.2.1.5

Factorisez $2 x$ à partir de $2 x (x^{2} - x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x^{2} - x - 2) = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez.

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Étape 1.2.2.2.1

Factorisez $x^{2} - x - 2$ à l’aide de la méthode AC.

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Étape 1.2.2.2.1.1

Étudiez la forme $x^{2} + b x + c$ . Déterminez une paire d’entiers dont le produit est $c$ et dont la somme est $b$ . Dans ce cas, dont le produit est $- 2$ et dont la somme est $- 1$ .

$- 2, 1$

Étape 1.2.2.2.1.2

Écrivez la forme factorisée avec ces entiers.

$2 x ((x - 2) (x + 1)) = 0$

Étape 1.2.2.2.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 x (x - 2) (x + 1) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 2$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 2$ égal à $0$ .

$x - 2 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 2$

Étape 1.2.6

Définissez $x + 1$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.6.1

Définissez $x + 1$ égal à $0$ .

$x + 1 = 0$

Étape 1.2.6.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 1$

Étape 1.2.7

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $2 x (x - 2) (x + 1) = 0$ vraie.

$x = 0, 2, - 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{1}{2} x^{4} - \frac{2}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(0)}^{4} - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0 - \frac{2}{3} \cdot {(0)}^{3} - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{2}{3} \cdot 0 - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot 0$ .

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Étape 1.4.1.2.1.4.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{2}{3}) - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.4.2

Multipliez $0$ par $\frac{2}{3}$ .

$0 + 0 - 2 {(0)}^{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.5

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 + 0 + 3$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 0 + 3$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 3$

Étape 1.4.1.2.2.3

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(2)}^{4} - \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.4.2.2.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de ${(2)}^{4}$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2^{3}) - \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$2^{3} - \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.2

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - \frac{2}{3} \cdot {(2)}^{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.3

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$8 - \frac{2}{3} \cdot 8 - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot 8$ .

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Étape 1.4.2.2.1.4.1

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$8 - 8 (\frac{2}{3}) - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.2

Associez $- 8$ et $\frac{2}{3}$ .

$8 + \frac{- 8 \cdot 2}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.4.3

Multipliez $- 8$ par $2$ .

$8 + \frac{- 16}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 - \frac{16}{3} - 2 {(2)}^{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.6

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$8 - \frac{16}{3} - 2 \cdot 4 + 3$

Étape 1.4.2.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $4$ .

$8 - \frac{16}{3} - 8 + 3$

Étape 1.4.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.2.1

Écrivez $8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8}{1} - \frac{16}{3} - 8 + 3$

Étape 1.4.2.2.2.2

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{1} \cdot \frac{3}{3} - \frac{16}{3} - 8 + 3$

Étape 1.4.2.2.2.3

Multipliez $\frac{8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} - 8 + 3$

Étape 1.4.2.2.2.4

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} + 3$

Étape 1.4.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Étape 1.4.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 3$

Étape 1.4.2.2.2.7

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1}$

Étape 1.4.2.2.2.8

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.2.2.2.9

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8 \cdot 3}{3} - \frac{16}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{8 \cdot 3 - 16 - 8 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Multipliez $8$ par $3$ .

$\frac{24 - 16 - 8 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{24 - 16 - 24 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{24 - 16 - 24 + 9}{3}$

Étape 1.4.2.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.5.1

Soustrayez $16$ de $24$ .

$\frac{8 - 24 + 9}{3}$

Étape 1.4.2.2.5.2

Soustrayez $24$ de $8$ .

$\frac{- 16 + 9}{3}$

Étape 1.4.2.2.5.3

Additionnez $- 16$ et $9$ .

$\frac{- 7}{3}$

Étape 1.4.2.2.5.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{7}{3}$

Étape 1.4.3

Évaluez sur $x = - 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Remplacez $x$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(- 1)}^{4} - \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2

Simplifiez

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Étape 1.4.3.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} - \frac{2}{3} \cdot {(- 1)}^{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.3

Multipliez $- 1$ par ${(- 1)}^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.3.2.1.3.1

Déplacez ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \cdot - 1 \frac{2}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.3.2

Multipliez ${(- 1)}^{3}$ par $- 1$ .

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Étape 1.4.3.2.1.3.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{3} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{2}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{3 + 1} \frac{2}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.3.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{1}{2} + {(- 1)}^{4} \frac{2}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.4

Élevez $- 1$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} + 1 (\frac{2}{3}) - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.5

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 2 {(- 1)}^{2} + 3$

Étape 1.4.3.2.1.6

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 2 \cdot 1 + 3$

Étape 1.4.3.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{2}{3} - 2 + 3$

Étape 1.4.3.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.3.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2}{3} - 2 + 3$

Étape 1.4.3.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} - 2 + 3$

Étape 1.4.3.2.2.3

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{2} - 2 + 3$

Étape 1.4.3.2.2.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} - 2 + 3$

Étape 1.4.3.2.2.5

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} + 3$

Étape 1.4.3.2.2.6

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{6}{6} + 3$

Étape 1.4.3.2.2.7

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + 3$

Étape 1.4.3.2.2.8

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1}$

Étape 1.4.3.2.2.9

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 1.4.3.2.2.10

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.2.11

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.2.12

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.2.13

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{3}{6} + \frac{2 \cdot 2}{6} + \frac{- 2 \cdot 6}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3 + 2 \cdot 2 - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.3.2.4.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{3 + 4 - 2 \cdot 6 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.4.2

Multipliez $- 2$ par $6$ .

$\frac{3 + 4 - 12 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.3.2.4.3

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 + 4 - 12 + 18}{6}$

Étape 1.4.3.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.3.2.5.1

Additionnez $3$ et $4$ .

$\frac{7 - 12 + 18}{6}$

Étape 1.4.3.2.5.2

Soustrayez $12$ de $7$ .

$\frac{- 5 + 18}{6}$

Étape 1.4.3.2.5.3

Additionnez $- 5$ et $18$ .

$\frac{13}{6}$

Étape 1.4.4

Indiquez tous les points.

$(0, 3), (2, - \frac{7}{3}), (- 1, \frac{13}{6})$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(- 4)}^{4} - \frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.1.1

Élevez $- 4$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 256 - \frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $256$ .

$\frac{1}{2} \cdot (2 (128)) - \frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 128) - \frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$128 - \frac{2}{3} \cdot {(- 4)}^{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.3

Élevez $- 4$ à la puissance $3$ .

$128 - \frac{2}{3} \cdot - 64 - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.4

Multipliez $- \frac{2}{3} \cdot - 64$ .

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Étape 2.1.2.1.4.1

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$128 + 64 (\frac{2}{3}) - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.4.2

Associez $64$ et $\frac{2}{3}$ .

$128 + \frac{64 \cdot 2}{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.4.3

Multipliez $64$ par $2$ .

$128 + \frac{128}{3} - 2 {(- 4)}^{2} + 3$

Étape 2.1.2.1.5

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$128 + \frac{128}{3} - 2 \cdot 16 + 3$

Étape 2.1.2.1.6

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$128 + \frac{128}{3} - 32 + 3$

Étape 2.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.1.2.2.1

Écrivez $128$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{128}{1} + \frac{128}{3} - 32 + 3$

Étape 2.1.2.2.2

Multipliez $\frac{128}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{1} \cdot \frac{3}{3} + \frac{128}{3} - 32 + 3$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $\frac{128}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} - 32 + 3$

Étape 2.1.2.2.4

Écrivez $- 32$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32}{1} + 3$

Étape 2.1.2.2.5

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Étape 2.1.2.2.6

Multipliez $\frac{- 32}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + 3$

Étape 2.1.2.2.7

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1}$

Étape 2.1.2.2.8

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 2.1.2.2.9

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128 \cdot 3}{3} + \frac{128}{3} + \frac{- 32 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{128 \cdot 3 + 128 - 32 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.4.1

Multipliez $128$ par $3$ .

$\frac{384 + 128 - 32 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4.2

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$\frac{384 + 128 - 96 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 2.1.2.4.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{384 + 128 - 96 + 9}{3}$

Étape 2.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 2.1.2.5.1

Additionnez $384$ et $128$ .

$\frac{512 - 96 + 9}{3}$

Étape 2.1.2.5.2

Soustrayez $96$ de $512$ .

$\frac{416 + 9}{3}$

Étape 2.1.2.5.3

Additionnez $416$ et $9$ .

$\frac{425}{3}$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{1}{2} \cdot {(3)}^{4} - \frac{2}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.2.1.1

Élevez $3$ à la puissance $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot 81 - \frac{2}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $81$ .

$\frac{81}{2} - \frac{2}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.2.2.1.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{81}{2} + \frac{- 2}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.3.2

Factorisez $3$ à partir de ${(3)}^{3}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{81}{2} + \frac{- 2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{81}{2} - 2 \cdot 3^{2} - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.4

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{2} - 2 \cdot 9 - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.5

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{81}{2} - 18 - 2 {(3)}^{2} + 3$

Étape 2.2.2.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{81}{2} - 18 - 2 \cdot 9 + 3$

Étape 2.2.2.1.7

Multipliez $- 2$ par $9$ .

$\frac{81}{2} - 18 - 18 + 3$

Étape 2.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 2.2.2.2.1

Écrivez $- 18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18}{1} - 18 + 3$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18}{1} \cdot \frac{2}{2} - 18 + 3$

Étape 2.2.2.2.3

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} - 18 + 3$

Étape 2.2.2.2.4

Écrivez $- 18$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18}{1} + 3$

Étape 2.2.2.2.5

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Étape 2.2.2.2.6

Multipliez $\frac{- 18}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + 3$

Étape 2.2.2.2.7

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Étape 2.2.2.2.8

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.2.9

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{81}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{- 18 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{81 - 18 \cdot 2 - 18 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.4.1

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{81 - 36 - 18 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4.2

Multipliez $- 18$ par $2$ .

$\frac{81 - 36 - 36 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{81 - 36 - 36 + 6}{2}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.5.1

Soustrayez $36$ de $81$ .

$\frac{45 - 36 + 6}{2}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $36$ de $45$ .

$\frac{9 + 6}{2}$

Étape 2.2.2.5.3

Additionnez $9$ et $6$ .

$\frac{15}{2}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 4, \frac{425}{3}), (3, \frac{15}{2})$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 4, \frac{425}{3})$

Minimum absolu : $(2, - \frac{7}{3})$

Étape 4