Calcul infinitésimal Exemples

$g (x) = - x^{2} + 24 x - 109$ , $s i \cdot 8 \leq x \leq 14$ ?

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 24 x - 109$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $24$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $24 x$ par rapport à $x$ est $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $24$ par $1$ .

$- 2 x + 24 + \frac{d}{d x} [- 109]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $- 109$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 109$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 2 x + 24 + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $- 2 x + 24$ et $0$ .

$f' (x) = - 2 x + 24$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $g (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 x + 24$ .

$- 2 x + 24$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- 2 x + 24 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- 2 x + 24 = 0$

Étape 1.2.2

Soustrayez $24$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x = - 24$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 24$ par $- 2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $- 2 x = - 24$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 24}{- 2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{- 24}{- 2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $- 24$ par $- 2$ .

$x = 12$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $- x^{2} + 24 x - 109$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 12$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $12$ .

$- {(12)}^{2} + 24 (12) - 109$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$- 1 \cdot 144 + 24 (12) - 109$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $144$ .

$- 144 + 24 (12) - 109$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $24$ par $12$ .

$- 144 + 288 - 109$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $- 144$ et $288$ .

$144 - 109$

Étape 1.4.1.2.2.2

Soustrayez $109$ de $144$ .

$35$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(12, 35)$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 8 s i$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $8 s i$ .

$- {(8 s i)}^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 3.1.2.1.1

Appliquez la règle de produit à $8 s i$ .

$- ({(8 s)}^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.1.2

Appliquez la règle de produit à $8 s$ .

$- (8^{2} s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.2

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$- (64 s^{2} i^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.3

Réécrivez $i^{2}$ comme $- 1$ .

$- (64 s^{2} \cdot - 1) + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.4

Multipliez $- 1$ par $64$ .

$- (- 64 s^{2}) + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.5

Multipliez $- 64$ par $- 1$ .

$64 s^{2} + 24 (8 s i) - 109$

Étape 3.1.2.6

Multipliez $8$ par $24$ .

$64 s^{2} + 192 s i - 109$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 14$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $14$ .

$- {(14)}^{2} + 24 (14) - 109$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $14$ à la puissance $2$ .

$- 1 \cdot 196 + 24 (14) - 109$

Étape 3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $196$ .

$- 196 + 24 (14) - 109$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $24$ par $14$ .

$- 196 + 336 - 109$

Étape 3.2.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.2.1

Additionnez $- 196$ et $336$ .

$140 - 109$

Étape 3.2.2.2.2

Soustrayez $109$ de $140$ .

$31$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(14, 31)$

Étape 4

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 5

Comparez les valeurs $g (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $g (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(14, 31)$

Aucun minimum absolu

Étape 6