Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \ln (x) - x$ , $x > 0$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{x} - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x} - 1 \cdot 1$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{x} - 1$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x} - 1$ .

$\frac{1}{x} - 1$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{1}{x} - 1 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{1}{x} - 1 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x} = 1$

Étape 1.2.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 1.2.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x, 1$

Étape 1.2.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x$

Étape 1.2.4

Multiplier chaque terme dans $\frac{1}{x} = 1$ par $x$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez chaque terme dans $\frac{1}{x} = 1$ par $x$ .

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Étape 1.2.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{x} x = 1 x$

Étape 1.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 = 1 x$

Étape 1.2.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.4.3.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$1 = x$

Étape 1.2.5

Réécrivez l’équation comme $x = 1$ .

$x = 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x = 0$

Étape 1.4

Évaluez $\ln (x) - x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\ln (1) - (1)$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$0 - (1)$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - 1$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\ln (0) - (0)$

Étape 1.4.2.2

Le logarithme naturel de zéro est indéfini.

Indéfini

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(1, - 1)$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $- 2$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $\frac{1}{x} - 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $- 2$ dans l’expression.

$f' (- 2) = \frac{1}{- 2} - 1$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1$

Étape 2.2.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.2.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$f' (- 2) = - \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 2.2.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 1 - 2}{2}$

Étape 2.2.2.5.2

Soustrayez $2$ de $- 1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 3}{2}$

Étape 2.2.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (- 2) = - \frac{3}{2}$

Étape 2.2.2.7

La réponse finale est $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $\frac{1}{x} - 1$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4}$

Étape 2.3.2.2

Associez $- 1$ et $\frac{4}{4}$ .

$f' (4) = \frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$f' (4) = \frac{1 - 1 \cdot 4}{4}$

Étape 2.3.2.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$f' (4) = \frac{1 - 4}{4}$

Étape 2.3.2.4.2

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f' (4) = \frac{- 3}{4}$

Étape 2.3.2.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$f' (4) = - \frac{3}{4}$

Étape 2.3.2.6

La réponse finale est $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4}$

Étape 2.4

Comma la dérivée première n’a pas changé de signe autour de $x = 1$ , ce n’est pas ni un maximum ni un minimum local.

Pas un maximum ni un minimum local

Étape 2.5

Aucun maximum ni minimum local déterminé pour $f (x) = \ln (x) - x$ .

Aucun maximum ni minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Aucun minimum absolu

Étape 4