Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ , $[1, 4]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3 x^{2}}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.1.1.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.1.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.3.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [3]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 3 x + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $x^{2} - 3 x$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 3 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 3 x$ .

$x^{2} - 3 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 3 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 3 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 3$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 3$ égal à $0$ .

$x - 3 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 3$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 3) = 0$ vraie.

$x = 0, 3$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} - \frac{3 x^{2}}{2} + 3$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{3} - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - \frac{3 \cdot 0}{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $3$ par $0$ .

$0 - \frac{0}{2} + 3$

Étape 1.4.1.2.1.5

Divisez $0$ par $2$ .

$0 - 0 + 3$

Étape 1.4.1.2.1.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 + 0 + 3$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 3$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 3$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $3$ .

$\frac{{(3)}^{3}}{3} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Multipliez $\frac{{(3)}^{3}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(3)}^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $\frac{{(3)}^{3}}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{3 {(3)}^{2}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - (\frac{3 {(3)}^{2}}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Étape 1.4.2.2.1.4

Multipliez $\frac{3 {(3)}^{2}}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + 3$

Étape 1.4.2.2.1.5

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.7

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.8

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{2 \cdot 3} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{6} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.1.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2}{6} - \frac{3 {(3)}^{2} \cdot 3}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(3)}^{3} \cdot 2 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27 \cdot 2 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.2

Multipliez $27$ par $2$ .

$\frac{54 - 3 {(3)}^{2} \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.3

Multipliez ${(3)}^{2}$ par $3$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.4.2.2.3.3.1

Déplacez $3$ .

$\frac{54 - 3 (3 {(3)}^{2}) + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.3.2

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 1.4.2.2.3.3.2.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$\frac{54 - 3 (3^{1} {(3)}^{2}) + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{54 - 3 \cdot 3^{1 + 2} + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{54 - 3 \cdot 3^{3} + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.4

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{54 - 3 \cdot 27 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.5

Multipliez $- 3$ par $27$ .

$\frac{54 - 81 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 1.4.2.2.3.6

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{54 - 81 + 18}{6}$

Étape 1.4.2.2.4

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Soustrayez $81$ de $54$ .

$\frac{- 27 + 18}{6}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Additionnez $- 27$ et $18$ .

$\frac{- 9}{6}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Annulez le facteur commun à $- 9$ et $6$ .

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Étape 1.4.2.2.4.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$\frac{3 (- 3)}{6}$

Étape 1.4.2.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.2.4.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 3}{3 \cdot 2}$

Étape 1.4.2.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{2}$

Étape 1.4.2.2.4.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 3), (3, - \frac{3}{2})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(3, - \frac{3}{2})$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + 3$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} - \frac{3 \cdot 1}{2} + 3$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - \frac{3}{2} + 3$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2} + 3$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3}{2} + 3$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{3}{3}) + 3$

Étape 3.1.2.2.4

Multipliez $\frac{3}{2}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + 3$

Étape 3.1.2.2.5

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 3.1.2.2.7

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.2.8

Réorganisez les facteurs de $3 \cdot 2$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.2.9

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.2.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$\frac{2}{6} - \frac{3 \cdot 3}{6} + \frac{3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2 - 3 \cdot 3 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 3$ par $3$ .

$\frac{2 - 9 + 3 \cdot 6}{6}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{2 - 9 + 18}{6}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $9$ de $2$ .

$\frac{- 7 + 18}{6}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 7$ et $18$ .

$\frac{11}{6}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + 3$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64}{3} - \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + 3$

Étape 3.2.2.1.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot 16}{2} + 3$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $3$ par $16$ .

$\frac{64}{3} - \frac{48}{2} + 3$

Étape 3.2.2.1.4

Divisez $48$ par $2$ .

$\frac{64}{3} - 1 \cdot 24 + 3$

Étape 3.2.2.1.5

Multipliez $- 1$ par $24$ .

$\frac{64}{3} - 24 + 3$

Étape 3.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.2.1

Écrivez $- 24$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24}{1} + 3$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3$

Étape 3.2.2.2.3

Multipliez $\frac{- 24}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + 3$

Étape 3.2.2.2.4

Écrivez $3$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1}$

Étape 3.2.2.2.5

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.2.6

Multipliez $\frac{3}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{- 24 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{64 - 24 \cdot 3 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.4.1

Multipliez $- 24$ par $3$ .

$\frac{64 - 72 + 3 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{64 - 72 + 9}{3}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.5.1

Soustrayez $72$ de $64$ .

$\frac{- 8 + 9}{3}$

Étape 3.2.2.5.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$\frac{1}{3}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(1, \frac{11}{6}), (4, \frac{1}{3})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, \frac{11}{6})$

Minimum absolu : $(3, - \frac{3}{2})$

Étape 5