Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x + \frac{1}{x}$

Étape 1

Déterminez la dérivée première de la fonction.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Étape 1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée seconde de la fonction.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = - 1$ et $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{2}}$ comme ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 2.2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$f'' (x) = - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1) + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.6

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Étape 2.2.6.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.6.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$f'' (x) = - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.8

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$f'' (x) = - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.10

Soustrayez $4$ de $1$ .

$f'' (x) = - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.11

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.12

Multipliez $\frac{1}{x^{2}}$ par $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0 + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.2.13

Additionnez $2 x^{- 3}$ et $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$f'' (x) = 2 x^{- 3} + 0$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}} + 0$

Étape 2.4.2.2

Additionnez $\frac{2}{x^{3}}$ et $0$ .

$f'' (x) = \frac{2}{x^{3}}$

Étape 3

Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à $0$ et résolvez.

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 4

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 4.1.1

Différenciez.

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Étape 4.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 4.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Étape 4.1.2.1

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$1 + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 4.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$1 - x^{- 2}$

Étape 4.1.3

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 4.1.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 4.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{x^{2}} + 1$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1$

Étape 5

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$ .

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Étape 5.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{1}{x^{2}} + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{1}{x^{2}} = - 1$

Étape 5.3

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.3.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$x^{2}, 1$

Étape 5.3.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$x^{2}$

Étape 5.4

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.4.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{x^{2}} = - 1$ par $x^{2}$ .

$- \frac{1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 5.4.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = - x^{2}$

Étape 5.4.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = - x^{2}$

Étape 5.5

Résolvez l’équation.

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $- x^{2} = - 1$ .

$- x^{2} = - 1$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x^{2} = - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.5.2.2.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Étape 5.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.2.3.1

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{1}$

Étape 5.5.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$x = \pm 1$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$x = 1$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$x = - 1$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$x = 1, - 1$

Étape 6

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 6.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{1}{x^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$x^{2} = 0$

Étape 6.2

Résolvez $x$ .

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Étape 6.2.1

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$x = \pm \sqrt{0}$

Étape 6.2.2

Simplifiez $\pm \sqrt{0}$ .

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Étape 6.2.2.1

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Étape 6.2.2.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$x = \pm 0$

Étape 6.2.2.3

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$x = 0$

Étape 7

Points critiques à évaluer.

$x = 1, - 1$

Étape 8

Évaluez la dérivée seconde sur $x = 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{{(1)}^{3}}$

Étape 9

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 9.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{1}$

Étape 9.2

Divisez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 10

$x = 1$ est un minimum local car la valeur de la dérivée seconde est positive. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 11

Déterminez la valeur y quand $x = 1$ .

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Étape 11.1

Remplacez la variable $x$ par $1$ dans l’expression.

$f (1) = (1) + \frac{1}{1}$

Étape 11.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 11.2.1

Divisez $1$ par $1$ .

$f (1) = 1 + 1$

Étape 11.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$f (1) = 2$

Étape 11.2.3

La réponse finale est $2$ .

$y = 2$

Étape 12

Évaluez la dérivée seconde sur $x = - 1$ . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.

$\frac{2}{{(- 1)}^{3}}$

Étape 13

Évaluez la dérivée seconde.

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Étape 13.1

Élevez $- 1$ à la puissance $3$ .

$\frac{2}{- 1}$

Étape 13.2

Divisez $2$ par $- 1$ .

$- 2$

Étape 14

$x = - 1$ est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.

$x = - 1$ est un maximum local

Étape 15

Déterminez la valeur y quand $x = - 1$ .

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Étape 15.1

Remplacez la variable $x$ par $- 1$ dans l’expression.

$f (- 1) = (- 1) + \frac{1}{- 1}$

Étape 15.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 15.2.1

Divisez $1$ par $- 1$ .

$f (- 1) = - 1 - 1$

Étape 15.2.2

Soustrayez $1$ de $- 1$ .

$f (- 1) = - 2$

Étape 15.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$y = - 2$

Étape 16

Ce sont les extrema locaux pour $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

$(1, 2)$ est un minimum local

$(- 1, - 2)$ est un maximum local

Étape 17