Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 - | t - 2 |$ , $[- 8, 3]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 - | t - 2 |$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

$\frac{d}{d t} [2] + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Étape 1.1.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d t} [- | t - 2 |]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- | t - 2 |$ par rapport à $t$ est $- \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$ .

$0 - \frac{d}{d t} [| t - 2 |]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = | t |$ et $g (t) = t - 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $t - 2$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d t} [t - 2])$

Étape 1.1.1.2.2.2

La dérivée de $| u |$ par rapport à $u$ est $\frac{u}{| u |}$ .

$0 - (\frac{u}{| u |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Étape 1.1.1.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t - 2$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \frac{d}{d t} [t - 2])$

Étape 1.1.1.2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Étape 1.1.1.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + \frac{d}{d t} [- 2]))$

Étape 1.1.1.2.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} (1 + 0))$

Étape 1.1.1.2.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$0 - (\frac{t - 2}{| t - 2 |} \cdot 1)$

Étape 1.1.1.2.7

Multipliez $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ par $1$ .

$0 - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Étape 1.1.1.3

Soustrayez $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ de $0$ .

$f' (t) = - \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (t)$ par rapport à $t$ est $- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$t - 2 = 0$

Étape 1.2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 2$

Étape 1.2.4

Excluez les solutions qui ne rendent pas $- \frac{t - 2}{| t - 2 |} = 0$ vrai.

$Aucune solution$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{t - 2}{| t - 2 |}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

$| t - 2 | = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$t - 2 = \pm 0$

Étape 1.3.2.2

Plus ou moins $0$ est $0$ .

$t - 2 = 0$

Étape 1.3.2.3

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$t = 2$

Étape 1.4

Évaluez $2 - | t - 2 |$ sur chaque valeur $t$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Évaluez sur $t = 2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.1

Remplacez $t$ par $2$ .

$2 - | (2) - 2 |$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1.2.1.1

Soustrayez $2$ de $2$ .

$2 - | 0 |$

Étape 1.4.1.2.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$2 - 0$

Étape 1.4.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$2 + 0$

Étape 1.4.1.2.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(2, 2)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez sur $t = - 8$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Remplacez $t$ par $- 8$ .

$2 - | (- 8) - 2 |$

Étape 2.1.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1.1

Soustrayez $2$ de $- 8$ .

$2 - | - 10 |$

Étape 2.1.2.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $- 10$ et $0$ est $10$ .

$2 - 1 \cdot 10$

Étape 2.1.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $10$ .

$2 - 10$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $10$ de $2$ .

$- 8$

Étape 2.2

Évaluez sur $t = 3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Remplacez $t$ par $3$ .

$2 - | (3) - 2 |$

Étape 2.2.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.2.1.1

Soustrayez $2$ de $3$ .

$2 - | 1 |$

Étape 2.2.2.1.2

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 8, - 8), (3, 1)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (t)$ trouvées pour chaque valeur de $t$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (t)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(2, 2)$

Minimum absolu : $(- 8, - 8)$

Étape 4