Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ , $[- 2, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.4

Associez $\frac{3}{3}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 1.1.1.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.2.5.2

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$x^{2} - 4 x + 0$

Étape 1.1.1.4.2

Additionnez $x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$f' (x) = x^{2} - 4 x$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $x^{2} - 4 x$ .

$x^{2} - 4 x$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $x^{2} - 4 x = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$x^{2} - 4 x = 0$

Étape 1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 4 x = 0$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $x$ à partir de $- 4 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 4 = 0$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $x$ à partir de $x \cdot x + x \cdot - 4$ .

$x (x - 4) = 0$

Étape 1.2.3

Si un facteur quelconque du côté gauche de l’équation est égal à $0$ , l’expression entière sera égale à $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.4

Définissez $x$ égal à $0$ .

$x = 0$

Étape 1.2.5

Définissez $x - 4$ égal à $0$ et résolvez $x$ .

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Étape 1.2.5.1

Définissez $x - 4$ égal à $0$ .

$x - 4 = 0$

Étape 1.2.5.2

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$x = 4$

Étape 1.2.6

La solution finale est l’ensemble des valeurs qui rendent $x (x - 4) = 0$ vraie.

$x = 0, 4$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 4$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\frac{{(0)}^{3}}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{3} - 2 {(0)}^{2} + 4$

Étape 1.4.1.2.1.2

Divisez $0$ par $3$ .

$0 - 2 {(0)}^{2} + 4$

Étape 1.4.1.2.1.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 - 2 \cdot 0 + 4$

Étape 1.4.1.2.1.4

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$0 + 0 + 4$

Étape 1.4.1.2.2

Simplifiez en ajoutant des nombres.

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Étape 1.4.1.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + 4$

Étape 1.4.1.2.2.2

Additionnez $0$ et $4$ .

$4$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = 4$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $4$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} - 2 {(4)}^{2} + 4$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 1.4.2.2.1.1

Écrivez $- 2 {(4)}^{2}$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} + 4$

Étape 1.4.2.2.1.2

Multipliez $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2}}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Étape 1.4.2.2.1.3

Multipliez $\frac{- 2 {(4)}^{2}}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + 4$

Étape 1.4.2.2.1.4

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Étape 1.4.2.2.1.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.4.2.2.1.6

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{{(4)}^{3}}{3} + \frac{- 2 {(4)}^{2} \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{{(4)}^{3} - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.2.2.3.1

Élevez $4$ à la puissance $3$ .

$\frac{64 - 2 {(4)}^{2} \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3.2

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{64 - 2 \cdot 16 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3.3

Multipliez $- 2 \cdot 16 \cdot 3$ .

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Étape 1.4.2.2.3.3.1

Multipliez $- 2$ par $16$ .

$\frac{64 - 32 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3.3.2

Multipliez $- 32$ par $3$ .

$\frac{64 - 96 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 1.4.2.2.3.4

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{64 - 96 + 12}{3}$

Étape 1.4.2.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.4.2.2.4.1

Soustrayez $96$ de $64$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.2

Additionnez $- 32$ et $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Étape 1.4.2.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{3}$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(0, 4), (4, - \frac{20}{3})$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(0, 4)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\frac{{(- 2)}^{3}}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 3.1.2

Simplifiez

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Étape 3.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$\frac{- 8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{3} - 2 {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 3.1.2.1.3

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.1.2.1.3.1

Multipliez $- 2$ par ${(- 2)}^{2}$ .

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Étape 3.1.2.1.3.1.1

Élevez $- 2$ à la puissance $1$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1} {(- 2)}^{2} + 4$

Étape 3.1.2.1.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{1 + 2} + 4$

Étape 3.1.2.1.3.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$- \frac{8}{3} + {(- 2)}^{3} + 4$

Étape 3.1.2.1.4

Élevez $- 2$ à la puissance $3$ .

$- \frac{8}{3} - 8 + 4$

Étape 3.1.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.1.2.2.1

Écrivez $- 8$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} + 4$

Étape 3.1.2.2.2

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $\frac{- 8}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + 4$

Étape 3.1.2.2.4

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Étape 3.1.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.1.2.2.6

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{3} + \frac{- 8 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 8 - 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.4.1

Multipliez $- 8$ par $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.1.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{- 8 - 24 + 12}{3}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.5.1

Soustrayez $24$ de $- 8$ .

$\frac{- 32 + 12}{3}$

Étape 3.1.2.5.2

Additionnez $- 32$ et $12$ .

$\frac{- 20}{3}$

Étape 3.1.2.5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{20}{3}$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{{(1)}^{3}}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 4$

Étape 3.2.2.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 4$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} - 2 + 4$

Étape 3.2.2.2

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 3.2.2.2.1

Écrivez $- 2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 4$

Étape 3.2.2.2.2

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 4$

Étape 3.2.2.2.3

Multipliez $\frac{- 2}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 4$

Étape 3.2.2.2.4

Écrivez $4$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1}$

Étape 3.2.2.2.5

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 3.2.2.2.6

Multipliez $\frac{4}{1}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 - 2 \cdot 3 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.4.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{1 - 6 + 4 \cdot 3}{3}$

Étape 3.2.2.4.2

Multipliez $4$ par $3$ .

$\frac{1 - 6 + 12}{3}$

Étape 3.2.2.5

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 3.2.2.5.1

Soustrayez $6$ de $1$ .

$\frac{- 5 + 12}{3}$

Étape 3.2.2.5.2

Additionnez $- 5$ et $12$ .

$\frac{7}{3}$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, - \frac{20}{3}), (1, \frac{7}{3})$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(0, 4)$

Minimum absolu : $(- 2, - \frac{20}{3})$

Étape 5