Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \tan^{-1} (x^{2})$ on $- 2$ , $2$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan^{-1} (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

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Étape 1.1.1.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan^{-1} (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.2

La dérivée de $\tan^{-1} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 1.1.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 1.1.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Étape 1.1.1.2.3

Associez les fractions.

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Étape 1.1.1.2.3.1

Associez $2$ et $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Étape 1.1.1.2.3.2

Associez $\frac{2}{1 + x^{4}}$ et $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Étape 1.1.1.2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{2 x}{x^{4} + 1} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$2 x = 0$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 0$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $0$ par $2$ .

$x = 0$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\tan^{-1} (x^{2})$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\tan^{-1} ({(0)}^{2})$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\tan^{-1} (0)$

Étape 1.4.1.2.2

La valeur exacte de $\tan^{-1} (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(0, 0)$

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 2$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 2$ .

$\tan^{-1} ({(- 2)}^{2})$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Étape 2.1.2.2

Évaluez $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 2$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $2$ .

$\tan^{-1} ({(2)}^{2})$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\tan^{-1} (4)$

Étape 2.2.2.2

Évaluez $\tan^{-1} (4)$ .

$1.32581766$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(- 2, 1.32581766), (2, 1.32581766)$

Minimum absolu : $(0, 0)$

Étape 4