Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 2 x$ , $(0, 2)$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 1.1.1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Étape 1.1.1.2.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 2 \cdot 1$

Étape 1.1.1.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$f' (x) = 2 x - 2$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $2 x - 2$ .

$2 x - 2$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $2 x - 2 = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$2 x - 2 = 0$

Étape 1.2.2

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$2 x = 2$

Étape 1.2.3

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 1.2.3.1

Divisez chaque terme dans $2 x = 2$ par $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.2.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x}{2} = \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{2}{2}$

Étape 1.2.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.3.1

Divisez $2$ par $2$ .

$x = 1$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $x^{2} - 2 x$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $1$ .

${(1)}^{2} - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.4.1.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1 - 2 \cdot 1$

Étape 1.4.1.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$1 - 2$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.2

Indiquez tous les points.

$(1, - 1)$

Étape 2

Utilisez le test de la dérivée afin de déterminer quels points peuvent être des maxima ou des minima.

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Étape 2.1

Divisez $(- \infty, \infty)$ en intervalles distincts autour des valeurs $x$ qui rendent la dérivée première $0$ ou indéfinie.

$(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$

Étape 2.2

Remplacez tout nombre, tel que $0$ , de l’intervalle $(- \infty, 1)$ dans la dérivée première $2 x - 2$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.2.1

Remplacez la variable $x$ par $0$ dans l’expression.

$f' (0) = 2 (0) - 2$

Étape 2.2.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$f' (0) = 0 - 2$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $2$ de $0$ .

$f' (0) = - 2$

Étape 2.2.2.3

La réponse finale est $- 2$ .

$- 2$

Étape 2.3

Remplacez tout nombre, tel que $4$ , de l’intervalle $(1, \infty)$ dans la dérivée première $2 x - 2$ pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.

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Étape 2.3.1

Remplacez la variable $x$ par $4$ dans l’expression.

$f' (4) = 2 (4) - 2$

Étape 2.3.2

Simplifiez le résultat.

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $2$ par $4$ .

$f' (4) = 8 - 2$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $2$ de $8$ .

$f' (4) = 6$

Étape 2.3.2.3

La réponse finale est $6$ .

$6$

Étape 2.4

Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de $x = 1$ , $x = 1$ est un minimum local.

$x = 1$ est un minimum local

Étape 3

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Aucun maximum absolu

Minimum absolu : $(1, - 1)$

Étape 4