Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{x - 3}{4 + x}$ , $[- 4, 1]$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 3$ et $g (x) = 4 + x$ .

$\frac{(4 + x) \frac{d}{d x} [x - 3] - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2

Différenciez.

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Étape 1.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{(4 + x) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(4 + x) (1 + \frac{d}{d x} [- 3]) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(4 + x) (1 + 0) - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.1.1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(4 + x) \cdot 1 - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.4.2

Multipliez $4 + x$ par $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [4 + x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.6

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) (0 + \frac{d}{d x} [x])}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.7

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \frac{d}{d x} [x]}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3) \cdot 1}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.2.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{4 + x - (x - 3)}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 1.1.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{4 + x - x - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $4 + x - x - - 3$ .

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Étape 1.1.1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{4 + 0 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.1.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{4 - - 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$\frac{4 + 3}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.2.3

Additionnez $4$ et $3$ .

$\frac{7}{{(4 + x)}^{2}}$

Étape 1.1.1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f' (x) = \frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\frac{7}{{(x + 4)}^{2}} = 0$

Étape 1.2.2

Définissez le numérateur égal à zéro.

$7 = 0$

Étape 1.2.3

Comme $7 \neq 0$ , il n’y a aucune solution.

Aucune solution

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Définissez le dénominateur dans $\frac{7}{{(x + 4)}^{2}}$ égal à $0$ pour déterminer où l’expression est indéfinie.

${(x + 4)}^{2} = 0$

Étape 1.3.2

Résolvez $x$ .

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Étape 1.3.2.1

Définissez le $x + 4$ égal à $0$ .

$x + 4 = 0$

Étape 1.3.2.2

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$x = - 4$

Étape 1.4

Évaluez $\frac{x - 3}{4 + x}$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Étape 1.4.1.2

Simplifiez

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Étape 1.4.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Étape 1.4.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Étape 1.4.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 1.5

Le domaine du problème d’origine ne comprend aucune valeur de $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

Aucun point critique n’a été trouvé

Étape 2

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 2.1

Évaluez sur $x = - 4$ .

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Étape 2.1.1

Remplacez $x$ par $- 4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Étape 2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{(- 4) - 3}{4 - 4}$

Étape 2.1.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{(- 4) - 3}{0}$

Étape 2.1.2.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

Étape 2.2

Évaluez sur $x = 1$ .

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Étape 2.2.1

Remplacez $x$ par $1$ .

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Supprimez les parenthèses.

$\frac{(1) - 3}{4 + 1}$

Étape 2.2.2.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- 2}{4 + 1}$

Étape 2.2.2.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{- 2}{5}$

Étape 2.2.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5}$

Étape 2.3

Indiquez tous les points.

$(1, - \frac{2}{5})$

Étape 3

Comme il n’y a pas de valeur de $x$ qui rende la dérivée première égale à $0$ , il n’y a aucun extremum local.

Aucun extremum local

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(1, - \frac{2}{5})$

Aucun minimum absolu

Étape 5