Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sin (x)$ , $0 \leq x \leq 2 π$

Étape 1

Déterminez les points critiques.

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Étape 1.1

Déterminez la dérivée première.

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Étape 1.1.1

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x)$

Étape 1.1.2

La dérivée première de $f (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Étape 1.2

Définissez la dérivée première égale à $0$ puis résolvez l’équation $\cos (x) = 0$ .

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Étape 1.2.1

Définissez la dérivée première égale à $0$ .

$\cos (x) = 0$

Étape 1.2.2

Prenez le cosinus inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $x$ de l’intérieur du cosinus.

$x = \arccos (0)$

Étape 1.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.2.3.1

La valeur exacte de $\arccos (0)$ est $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Étape 1.2.4

La fonction cosinus est positive dans les premier et quatrième quadrants. Pour déterminer la deuxième solution, soustrayez l’angle de référence de $2 π$ pour déterminer la solution dans le quatrième quadrant.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5

Simplifiez $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.2.5.1

Pour écrire $2 π$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5.2

Associez les fractions.

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Étape 1.2.5.2.1

Associez $2 π$ et $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Étape 1.2.5.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Étape 1.2.5.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.3.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Étape 1.2.5.3.2

Soustrayez $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Étape 1.2.6

Déterminez la période de $\cos (x)$ .

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Étape 1.2.6.1

La période de la fonction peut être calculée en utilisant $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Étape 1.2.6.2

Remplacez $b$ par $1$ dans la formule pour la période.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Étape 1.2.6.3

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $1$ est $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Étape 1.2.6.4

Divisez $2 π$ par $1$ .

$2 π$

Étape 1.2.7

La période de la fonction $\cos (x)$ est $2 π$ si bien que les valeurs se répètent tous les $2 π$ radians dans les deux sens.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.2.8

Consolidez les réponses.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , pour tout entier $n$

Étape 1.3

Déterminez les valeurs où la dérivée est indéfinie.

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Étape 1.3.1

Le domaine de l’expression est l’ensemble des nombres réels excepté là où l’expression est indéfinie. Dans ce cas, aucun nombre réel ne rend l’expression indéfinie.

Étape 1.4

Évaluez $\sin (x)$ sur chaque valeur $x$ où la dérivée est $0$ ou indéfinie.

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Étape 1.4.1

Évaluez sur $x = \frac{π}{2}$ .

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Étape 1.4.1.1

Remplacez $x$ par $\frac{π}{2}$ .

$\sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.1.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$1$

Étape 1.4.2

Évaluez sur $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Étape 1.4.2.1

Remplacez $x$ par $\frac{3 π}{2}$ .

$\sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 1.4.2.2

Simplifiez

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Étape 1.4.2.2.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- \sin (\frac{π}{2})$

Étape 1.4.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.4.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 1.4.3

Indiquez tous les points.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, 1), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, - 1)$ , pour tout entier $n$

Étape 2

Excluez les points qui ne sont pas sur l’intervalle.

$(\frac{π}{2}, 1), (\frac{3 π}{2}, - 1)$

Étape 3

Évaluez sur les points finaux inclus.

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Étape 3.1

Évaluez sur $x = 0$ .

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Étape 3.1.1

Remplacez $x$ par $0$ .

$\sin (0)$

Étape 3.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 3.2

Évaluez sur $x = 2 π$ .

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Étape 3.2.1

Remplacez $x$ par $2 π$ .

$\sin (2 π)$

Étape 3.2.2

Simplifiez

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Étape 3.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\sin (0)$

Étape 3.2.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0$

Étape 3.3

Indiquez tous les points.

$(0, 0), (2 π, 0)$

Étape 4

Comparez les valeurs $f (x)$ trouvées pour chaque valeur de $x$ afin de déterminer le maximum et le minimum absolus sur l’intervalle donné. Le maximum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus haute et le minimum intervient sur la valeur $f (x)$ la plus basse.

Maximum absolu : $(\frac{π}{2}, 1)$

Minimum absolu : $(\frac{3 π}{2}, - 1)$

Étape 5