Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x - 6}$ , $(5, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 5$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{1}{x - 6}$ comme ${(x - 6)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 6)}^{- 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 6$ .

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Étape 1.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 6$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 6$ .

$- {(x - 6)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 6$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$- {(x - 6)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x - 6)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Étape 1.3.3

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 6)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 1.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x - 6)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 1.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x - 6)}^{- 2}$

Étape 1.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 6)}^{2}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 5$ .

$- \frac{1}{{((5) - 6)}^{2}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.1

Soustrayez $6$ de $5$ .

$- \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 1.6.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.6.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 1.6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{1}$

Étape 1.6.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(5, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = - 1 \cdot (x - (5))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 5)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 1 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 1 = - 1 \cdot (x - 5)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 1 = - 1 x - 1 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y + 1 = - x - 1 \cdot - 5$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 5$ .

$y + 1 = - x + 5$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - x + 5 - 1$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $1$ de $5$ .

$y = - x + 4$

Étape 3