Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x + 3}{x - 5}$ , $(4, - 7)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = - 7$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + 3$ et $g (x) = x - 5$ .

$\frac{(x - 5) \frac{d}{d x} [x + 3] - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{(x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [3]) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x - 5) (1 + 0) - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x - 5) \cdot 1 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Multipliez $x - 5$ par $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \frac{d}{d x} [x - 5]}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.7

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) (1 + 0)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3) \cdot 1}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x - 5 - (x + 3)}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x - 5 - x - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x - 5 - x - 1 \cdot 3$ .

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Étape 1.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 - 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3.2.1.2

Soustrayez $5$ de $0$ .

$\frac{- 5 - 1 \cdot 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- 5 - 3}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Soustrayez $3$ de $- 5$ .

$\frac{- 8}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{8}{{(x - 5)}^{2}}$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{8}{{((4) - 5)}^{2}}$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.5.1.1

Soustrayez $5$ de $4$ .

$- \frac{8}{{(- 1)}^{2}}$

Étape 1.5.1.2

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$- \frac{8}{1}$

Étape 1.5.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.5.2.1

Divisez $8$ par $1$ .

$- 1 \cdot 8$

Étape 1.5.2.2

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$- 8$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 8$ et un point donné, tel que $(4, - 7)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 7) = - 8 \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 8 \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + 7 = 0 + 0 - 8 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + 7 = - 8 \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + 7 = - 8 x - 8 \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $- 8$ par $- 4$ .

$y + 7 = - 8 x + 32$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $7$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 8 x + 32 - 7$

Étape 2.3.2.2

Soustrayez $7$ de $32$ .

$y = - 8 x + 25$

Étape 3