Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = - \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ ; $(- 1, - \frac{3}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - \frac{3}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2} + 4 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- \frac{3}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{3}{2} x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.5

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.6

Associez $\frac{- 6}{2}$ et $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 1.2.7.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6 x$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.2.7.2.4

Divisez $- 3 x$ par $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 3 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.3.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$- 3 x + 4 + \frac{d}{d x} [4]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- 3 x + 4 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $- 3 x + 4$ et $0$ .

$- 3 x + 4$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- 3 \cdot - 1 + 4$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$3 + 4$

Étape 1.6.2

Additionnez $3$ et $4$ .

$7$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $7$ et un point donné, tel que $(- 1, - \frac{3}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{3}{2}) = 7 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $7 \cdot (x + 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{3}{2} = 0 + 0 + 7 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{3}{2} = 7 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7 \cdot 1$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $7$ par $1$ .

$y + \frac{3}{2} = 7 x + 7$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Soustrayez $\frac{3}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y = 7 x + 7 - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $7$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + 7 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $7$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = 7 x + \frac{7 \cdot 2 - 3}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $7$ par $2$ .

$y = 7 x + \frac{14 - 3}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Soustrayez $3$ de $14$ .

$y = 7 x + \frac{11}{2}$

Étape 3