Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x + 1$ at $(0, 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x^{2} - 12 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Étape 1.4.2

Additionnez $6 x - 12$ et $0$ .

$6 x - 12$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$6 (0) - 12$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$0 - 12$

Étape 1.6.2

Soustrayez $12$ de $0$ .

$- 12$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 12$ et un point donné, tel que $(0, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 12 \cdot (x - (0))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 12 \cdot (x + 0)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 1 = - 12 x$

Étape 2.3.2

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 12 x + 1$

Étape 3