Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ at $(3, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez.

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Étape 1.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - 3 x^{2} + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

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Étape 1.2.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.2.3

Multipliez $2$ par $- 3$ .

$3 x^{2} - 6 x + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 x^{2} - 6 x + 0$

Étape 1.3.2

Additionnez $3 x^{2} - 6 x$ et $0$ .

$3 x^{2} - 6 x$

Étape 1.4

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Étape 1.5

Simplifiez

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Étape 1.5.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.5.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.5.1.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 1.5.1.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2} - 6 \cdot 3$

Étape 1.5.1.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2} - 6 \cdot 3$

Étape 1.5.1.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3} - 6 \cdot 3$

Étape 1.5.1.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27 - 6 \cdot 3$

Étape 1.5.1.3

Multipliez $- 6$ par $3$ .

$27 - 18$

Étape 1.5.2

Soustrayez $18$ de $27$ .

$9$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $9$ et un point donné, tel que $(3, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = 9 \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $9 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 + 9 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = 9 \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = 9 x + 9 \cdot - 3$

Étape 2.3.1.4

Multipliez $9$ par $- 3$ .

$y - 2 = 9 x - 27$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 9 x - 27 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $- 27$ et $2$ .

$y = 9 x - 25$

Étape 3