Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \sqrt{4 x + 36}$ ; $x = 0$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 0$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $0$ .

$y = \sqrt{4 (0) + 36}$

Étape 1.2

Simplifiez $\sqrt{4 (0) + 36}$ .

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Étape 1.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$y = \sqrt{0 + 36}$

Étape 1.2.2

Additionnez $0$ et $36$ .

$y = \sqrt{36}$

Étape 1.2.3

Réécrivez $36$ comme $6^{2}$ .

$y = \sqrt{6^{2}}$

Étape 1.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 6$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 0$ et $y = 6$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 36}]$ comme $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$ .

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Étape 2.1.1

Réécrivez $4 x + 36$ comme $2^{2} (x + 9)$ .

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Étape 2.1.1.1

Factorisez $4$ à partir de $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 36}]$

Étape 2.1.1.2

Factorisez $4$ à partir de $36$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (9)}]$

Étape 2.1.1.3

Factorisez $4$ à partir de $4 (x) + 4 (9)$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 9)}]$

Étape 2.1.1.4

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 9)}]$

Étape 2.1.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 9}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle multiple constante.

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Étape 2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x + 9}$ comme ${(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x + 9$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + 9$ .

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 9$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.8

Simplifiez les termes.

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Étape 2.8.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 (\frac{1}{2} {(x + 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.8.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (\frac{{(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.8.3

Placez ${(x + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9])$

Étape 2.8.4

Associez $\frac{1}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2$ .

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.8.5

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 {(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.8.6

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 9]$

Étape 2.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [9])$

Étape 2.11

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Étape 2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.12.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 2.12.2

Multipliez $\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$\frac{1}{{(x + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Évaluez la dérivée sur $x = 0$ .

$\frac{1}{{((0) + 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.14.1

Additionnez $0$ et $9$ .

$\frac{1}{9^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14.2

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{1}{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14.3

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.14.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.14.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 2.14.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3^{1}}$

Étape 2.14.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{3}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $\frac{1}{3}$ et un point donné, tel que $(0, 6)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $\frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Étape 3.3.1.1

Additionnez $x$ et $0$ .

$y - 6 = \frac{1}{3} \cdot x$

Étape 3.3.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x$ .

$y - 6 = \frac{x}{3}$

Étape 3.3.2

Ajoutez $6$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{3} + 6$

Étape 3.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{3} x + 6$

Étape 4