Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{2}{x}$ , $(3, \frac{2}{3})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = \frac{2}{3}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2}{x}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2})$

Étape 1.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 x^{- 2}$

Étape 1.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 1.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.6

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$- \frac{2}{{(3)}^{2}}$

Étape 1.7

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{9}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{2}{9}$ et un point donné, tel que $(3, \frac{2}{3})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{2}{3}) = - \frac{2}{9} \cdot (x - (3))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{2}{3} = - \frac{2}{9} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{2}{9} \cdot (x - 3)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{2}{3} = 0 + 0 - \frac{2}{9} \cdot (x - 3)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{2}{3} = - \frac{2}{9} x - \frac{2}{9} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{9}$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} - \frac{2}{9} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{9}$ dans le numérateur.

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2}{9} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3.2

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2}{3 (3)} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.2.3.3

Factorisez $3$ à partir de $- 3$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.4

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2}{3 \cdot 3} \cdot (3 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.2.3.5

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2}{3} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.2.4

Associez $\frac{- 2}{3}$ et $- 1$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{- 2 \cdot - 1}{3}$

Étape 2.3.1.2.5

Multipliez $- 2$ par $- 1$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{x \cdot 2}{9} + \frac{2}{3}$

Étape 2.3.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{2}{3} = - \frac{2 x}{9} + \frac{2}{3}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{2}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{2 x}{9} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 2 x}{9} + \frac{2 + 2}{3}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = \frac{- 2 x}{9} + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{2 x}{9} + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{2}{9} x) + \frac{4}{3}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{2}{9} x + \frac{4}{3}$

Étape 3