Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{3}$ , $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = {(3)}^{3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3^{3}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(3)}^{3}$

Étape 1.2.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$y = 27$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 27$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2}$

Étape 2.2

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$3 {(3)}^{2}$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.1.1

Multipliez $3$ par ${(3)}^{2}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Élevez $3$ à la puissance $1$ .

$3^{1} {(3)}^{2}$

Étape 2.3.1.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3^{1 + 2}$

Étape 2.3.1.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$3^{3}$

Étape 2.3.2

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$27$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $27$ et un point donné, tel que $(3, 27)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (27) = 27 \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $27 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 27 = 0 + 0 + 27 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 27 = 27 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 27 = 27 x + 27 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $27$ par $- 3$ .

$y - 27 = 27 x - 81$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $27$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 27 x - 81 + 27$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 81$ et $27$ .

$y = 27 x - 54$

Étape 4