Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 4 x y$ ; $(2, 2)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 2$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (4 x y)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x y$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 (x y' + y)$

Étape 1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$4 x y' + 4 y$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 4 x y' + 4 y$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $4 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 4 x y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 4 x y' = 4 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- 4 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4 x$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 4 x) = 4 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 4 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 4 x$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 4 x)}{3 y^{2} - 4 x} = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 y}{3 y^{2} - 4 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 4 x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 2$ sur $y = 2$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{4 y - 3 {(2)}^{2}}{3 y^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $2$ dans l’expression.

$\frac{4 (2) - 3 {(2)}^{2}}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun à $4 (2) - 3 {(2)}^{2}$ et $3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2$ .

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Étape 1.7.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 {(2)}^{2} + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 \cdot 4}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 4$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.4

Factorisez $2$ à partir de $2 (- 3 \cdot 2) + 2 (4)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{3 {(2)}^{2} - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.3.5.1

Factorisez $2$ à partir de $3 {(2)}^{2}$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) - 4 \cdot 2}$

Étape 1.7.3.5.2

Factorisez $2$ à partir de $- 4 \cdot 2$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (3 \cdot 2) + 2 (- 2 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (- 3 \cdot 2 + 4)}{2 (3 \cdot 2 - 2 \cdot 2)}$

Étape 1.7.3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \cdot 2 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $- 3 \cdot 2 + 4$ et $3 \cdot 2 - 2 \cdot 2$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 4}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2 \cdot - 3 + 2 (2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot - 3 + 2 (2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{3 \cdot 2 - 2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $3 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 - 2 \cdot 2}$

Étape 1.7.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)}$

Étape 1.7.4.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \cdot 3 + 2 (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Étape 1.7.4.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot (- 3 + 2)}{2 \cdot (3 - 1 \cdot 2)}$

Étape 1.7.4.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 + 2}{3 - 1 \cdot 2}$

Étape 1.7.5

Annulez le facteur commun à $- 3 + 2$ et $3 - 1 \cdot 2$ .

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Étape 1.7.5.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 \cdot 2}$

Étape 1.7.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3) - 1 (2)}$

Étape 1.7.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - 1 (2)$ .

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Étape 1.7.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 + 2}{- 1 (- 3 + 2)}$

Étape 1.7.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- 1}$

Étape 1.7.5.6

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{1}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 1.7.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(2, 2)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 1 \cdot (x - (2))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 2 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 2 = - 1 \cdot (x - 2)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 2 = - 1 x - 1 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 2 = - x - 1 \cdot - 2$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$y - 2 = - x + 2$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $2$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 2 + 2$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$y = - x + 4$

Étape 3