Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} = y^{4}$ at $(9, 3)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 9$ et $y = 3$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{4})$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 y^{3} y'$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 x = 4 y^{3} y'$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Réécrivez l’équation comme $4 y^{3} y' = 2 x$ .

$4 y^{3} y' = 2 x$

Étape 1.5.2

Divisez chaque terme dans $4 y^{3} y' = 2 x$ par $4 y^{3}$ et simplifiez.

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Étape 1.5.2.1

Divisez chaque terme dans $4 y^{3} y' = 2 x$ par $4 y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 1.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 y^{3} y'}{4 y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{3} y'}{y^{3}} = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.2.3.1

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 1.5.2.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$y' = \frac{2 (x)}{4 y^{3}}$

Étape 1.5.2.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.5.2.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 y^{3}$ .

$y' = \frac{2 (x)}{2 (2 y^{3})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 x}{2 (2 y^{3})}$

Étape 1.5.2.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{2 y^{3}}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{2 y^{3}}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 9$ sur $y = 3$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $9$ dans l’expression.

$\frac{9}{2 y^{3}}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $3$ dans l’expression.

$\frac{9}{2 {(3)}^{3}}$

Étape 1.7.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.7.3.1

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{9}{2 \cdot 27}$

Étape 1.7.3.2

Multipliez $2$ par $27$ .

$\frac{9}{54}$

Étape 1.7.4

Annulez le facteur commun à $9$ et $54$ .

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Étape 1.7.4.1

Factorisez $9$ à partir de $9$ .

$\frac{9 (1)}{54}$

Étape 1.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.4.2.1

Factorisez $9$ à partir de $54$ .

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Étape 1.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{9 \cdot 1}{9 \cdot 6}$

Étape 1.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{6}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{6}$ et un point donné, tel que $(9, 3)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (3) = \frac{1}{6} \cdot (x - (9))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{6} \cdot (x - 9)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 3 = 0 + 0 + \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 3 = \frac{1}{6} \cdot (x - 9)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 3 = \frac{1}{6} x + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{6}$ et $x$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{6} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 (2)} \cdot - 9$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $3$ à partir de $- 9$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{3 \cdot 2} \cdot (3 \cdot - 3)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{1}{2} \cdot - 3$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 3$ .

$y - 3 = \frac{x}{6} + \frac{- 3}{2}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - 3 = \frac{x}{6} - \frac{3}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $3$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + 3 \cdot \frac{2}{2}$

Étape 2.3.2.3

Associez $3$ et $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{x}{6} - \frac{3}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 3 \cdot 2}{2}$

Étape 2.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.2.5.1

Multipliez $3$ par $2$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{- 3 + 6}{2}$

Étape 2.3.2.5.2

Additionnez $- 3$ et $6$ .

$y = \frac{x}{6} + \frac{3}{2}$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{6} x + \frac{3}{2}$

Étape 3