Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ , $(1, \frac{1}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = \frac{1}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{6 x}{1 + 11 x^{2}}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 + 11 x^{2}}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 1 + 11 x^{2}$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \frac{(1 + 11 x^{2}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $1 + 11 x^{2}$ par $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [1 + 11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (0 + \frac{d}{d x} [11 x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [11 x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x \frac{d}{d x} [11 x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.6

Comme $11$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $11 x^{2}$ par rapport à $x$ est $11 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - x (11 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.7

Multipliez $11$ par $- 1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 11 x (2 x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.3.9

Multipliez $2$ par $- 11$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x \cdot x}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x)}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 (x^{1} x^{1})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{1 + 1}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$6 \frac{1 + 11 x^{2} - 22 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $22 x^{2}$ de $11 x^{2}$ .

$6 \frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $6$ et $\frac{1 - 11 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$ .

$\frac{6 (1 - 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{6 \cdot 1 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $6$ par $1$ .

$\frac{6 + 6 (- 11 x^{2})}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $- 11$ par $6$ .

$\frac{6 - 66 x^{2}}{{(1 + 11 x^{2})}^{2}}$

Étape 1.10.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 66 x^{2} + 6}{{(11 x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$\frac{- 66 {(1)}^{2} + 6}{{(11 {(1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 66 \cdot 1 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $- 66$ par $1$ .

$\frac{- 66 + 6}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.1.3

Additionnez $- 66$ et $6$ .

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.12.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 60}{{(11 \cdot 1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2.2

Multipliez $11$ par $1$ .

$\frac{- 60}{{(11 + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2.3

Additionnez $11$ et $1$ .

$\frac{- 60}{12^{2}}$

Étape 1.12.2.4

Élevez $12$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 60}{144}$

Étape 1.12.3

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 1.12.3.1

Annulez le facteur commun à $- 60$ et $144$ .

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Étape 1.12.3.1.1

Factorisez $12$ à partir de $- 60$ .

$\frac{12 (- 5)}{144}$

Étape 1.12.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.12.3.1.2.1

Factorisez $12$ à partir de $144$ .

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Étape 1.12.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12 \cdot - 5}{12 \cdot 12}$

Étape 1.12.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 5}{12}$

Étape 1.12.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{12}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- \frac{5}{12}$ et un point donné, tel que $(1, \frac{1}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{1}{2}) = - \frac{5}{12} \cdot (x - (1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{1}{2} = 0 + 0 - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} \cdot (x - 1)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5}{12} x - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{5}{12}$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} - \frac{5}{12} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.5

Multipliez $- \frac{5}{12} \cdot - 1$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + 1 (\frac{5}{12})$

Étape 2.3.1.5.2

Multipliez $\frac{5}{12}$ par $1$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{x \cdot 5}{12} + \frac{5}{12}$

Étape 2.3.1.6

Déplacez $5$ à gauche de $x$ .

$y - \frac{1}{2} = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{1}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2.2

Pour écrire $\frac{1}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{6}$

Étape 2.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $12$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{6}{6}$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{2 \cdot 6}$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez $2$ par $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5}{12} + \frac{6}{12}$

Étape 2.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{5 + 6}{12}$

Étape 2.3.2.5

Additionnez $5$ et $6$ .

$y = - \frac{5 x}{12} + \frac{11}{12}$

Étape 2.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 2.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{5}{12} x) + \frac{11}{12}$

Étape 2.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{5}{12} x + \frac{11}{12}$

Étape 3