Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{2} - 4$ at $x = 3$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 3$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $3$ .

$y = {(3)}^{2} - 4$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 3^{2} - 4$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(3)}^{2} - 4$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(3)}^{2} - 4$ .

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Étape 1.2.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$y = 9 - 4$

Étape 1.2.3.2

Soustrayez $4$ de $9$ .

$y = 5$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 3$ et $y = 5$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 4]$

Étape 2.3

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x + 0$

Étape 2.4

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 x$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = 3$ .

$2 (3)$

Étape 2.6

Multipliez $2$ par $3$ .

$6$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $6$ et un point donné, tel que $(3, 5)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5) = 6 \cdot (x - (3))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 5 = 6 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $6 \cdot (x - 3)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 5 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 5 = 6 \cdot (x - 3)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 5 = 6 x + 6 \cdot - 3$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $6$ par $- 3$ .

$y - 5 = 6 x - 18$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $5$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 6 x - 18 + 5$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 18$ et $5$ .

$y = 6 x - 13$

Étape 4