Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = 14 x y$ ; $(7, 7)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 7$ et $y = 7$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (14 x y)$

Étape 1.2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 1.2.1

Différenciez.

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Étape 1.2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 1.2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 1.2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 1.2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 1.3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 1.3.1

Comme $14$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $14 x y$ par rapport à $x$ est $14 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$14 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$14 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$14 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$14 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 1.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$14 (x y' + y)$

Étape 1.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$14 x y' + 14 y$

Étape 1.4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 14 x y' + 14 y$

Étape 1.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 1.5.1

Soustrayez $14 x y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 14 x y' = 14 y$

Étape 1.5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 14 x y' = 14 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 14 x y'$ .

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Étape 1.5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) - 14 x y' = 14 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 14 x y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' (- 14 x) = 14 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (3 y^{2}) + y' (- 14 x)$ .

$y' (3 y^{2} - 14 x) = 14 y - 3 x^{2}$

Étape 1.5.4

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 14 x) = 14 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 14 x$ et simplifiez.

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Étape 1.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (3 y^{2} - 14 x) = 14 y - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} - 14 x$ .

$\frac{y' (3 y^{2} - 14 x)}{3 y^{2} - 14 x} = \frac{14 y}{3 y^{2} - 14 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 14 x}$

Étape 1.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3 y^{2} - 14 x$ .

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Étape 1.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 y^{2} - 14 x)}{3 y^{2} - 14 x} = \frac{14 y}{3 y^{2} - 14 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 14 x}$

Étape 1.5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{14 y}{3 y^{2} - 14 x} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} - 14 x}$

Étape 1.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{14 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 14 x}$

Étape 1.6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{14 y - 3 x^{2}}{3 y^{2} - 14 x}$

Étape 1.7

Évaluez sur $x = 7$ sur $y = 7$ .

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Étape 1.7.1

Remplacez la variable $x$ par $7$ dans l’expression.

$\frac{14 y - 3 {(7)}^{2}}{3 y^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.2

Remplacez la variable $y$ par $7$ dans l’expression.

$\frac{14 (7) - 3 {(7)}^{2}}{3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3

Annulez le facteur commun à $14 (7) - 3 {(7)}^{2}$ et $3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7$ .

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Étape 1.7.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{- 3 {(7)}^{2} + 7 \cdot 14}{3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3.2

Factorisez $7$ à partir de $- 3 {(7)}^{2}$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7) + 7 \cdot 14}{3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3.3

Factorisez $7$ à partir de $7 \cdot 14$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7) + 7 (14)}{3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3.4

Factorisez $7$ à partir de $7 (- 3 \cdot 7) + 7 (14)$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7 + 14)}{3 {(7)}^{2} - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3.5

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.7.3.5.1

Factorisez $7$ à partir de $3 {(7)}^{2}$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7 + 14)}{7 (3 \cdot 7) - 14 \cdot 7}$

Étape 1.7.3.5.2

Factorisez $7$ à partir de $- 14 \cdot 7$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7 + 14)}{7 (3 \cdot 7) + 7 (- 2 \cdot 7)}$

Étape 1.7.3.5.3

Factorisez $7$ à partir de $7 (3 \cdot 7) + 7 (- 2 \cdot 7)$ .

$\frac{7 (- 3 \cdot 7 + 14)}{7 (3 \cdot 7 - 2 \cdot 7)}$

Étape 1.7.3.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 (- 3 \cdot 7 + 14)}{7 (3 \cdot 7 - 2 \cdot 7)}$

Étape 1.7.3.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3 \cdot 7 + 14}{3 \cdot 7 - 2 \cdot 7}$

Étape 1.7.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.7.4.1

Multipliez $- 3$ par $7$ .

$\frac{- 21 + 14}{3 \cdot 7 - 2 \cdot 7}$

Étape 1.7.4.2

Additionnez $- 21$ et $14$ .

$\frac{- 7}{3 \cdot 7 - 2 \cdot 7}$

Étape 1.7.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.7.5.1

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{- 7}{21 - 2 \cdot 7}$

Étape 1.7.5.2

Multipliez $- 2$ par $7$ .

$\frac{- 7}{21 - 14}$

Étape 1.7.5.3

Soustrayez $14$ de $21$ .

$\frac{- 7}{7}$

Étape 1.7.6

Divisez $- 7$ par $7$ .

$- 1$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $- 1$ et un point donné, tel que $(7, 7)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (7) = - 1 \cdot (x - (7))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 7 = - 1 \cdot (x - 7)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $- 1 \cdot (x - 7)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - 7 = 0 + 0 - 1 \cdot (x - 7)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 7 = - 1 \cdot (x - 7)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 7 = - 1 x - 1 \cdot - 7$

Étape 2.3.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.1.4.1

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$y - 7 = - x - 1 \cdot - 7$

Étape 2.3.1.4.2

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y - 7 = - x + 7$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $7$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - x + 7 + 7$

Étape 2.3.2.2

Additionnez $7$ et $7$ .

$y = - x + 14$

Étape 3