Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$ at the origin and at the point $(- 1, - 1)$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x}{x^{2} + 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 1}]$

Étape 1.2

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x$ et $g (x) = x^{2} + 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3

Différenciez.

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Étape 1.3.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.2

Multipliez $x^{2} + 1$ par $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 1.3.6.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - x (2 x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.4

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.5

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 \frac{x^{2} + 1 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.8

Soustrayez $2 x^{2}$ de $x^{2}$ .

$2 \frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.9

Associez $2$ et $\frac{- x^{2} + 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- x^{2} + 1)}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10

Simplifiez

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Étape 1.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{2 (- x^{2}) + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.10.2.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2 \cdot 1}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.10.2.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 2 x^{2} + 2}{{(x^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.11

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$\frac{- 2 {(- 1)}^{2} + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12

Simplifiez

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Étape 1.12.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.12.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 2 \cdot 1 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.1.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 2 + 2}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.1.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{{({(- 1)}^{2} + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.12.2.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{{(1 + 1)}^{2}}$

Étape 1.12.2.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{0}{2^{2}}$

Étape 1.12.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4}$

Étape 1.12.3

Divisez $0$ par $4$ .

$0$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $0$ et un point donné, tel que $(- 1, - 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 1) = 0 \cdot (x - (- 1))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + 1 = 0 \cdot (x + 1)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Multipliez $0$ par $x + 1$ .

$y + 1 = 0$

Étape 2.3.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = - 1$

Étape 3