Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} - 6 x + 9$ , at $x = 2$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 2$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $2$ .

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 2^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(2)}^{2} - 6 \cdot 2 + 9$ .

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Étape 1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.3.1.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$y = 4 - 6 \cdot 2 + 9$

Étape 1.2.3.1.2

Multipliez $- 6$ par $2$ .

$y = 4 - 12 + 9$

Étape 1.2.3.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 1.2.3.2.1

Soustrayez $12$ de $4$ .

$y = - 8 + 9$

Étape 1.2.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $9$ .

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 2$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 6 x + 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 6 x$ par rapport à $x$ est $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.2.3

Multipliez $- 6$ par $1$ .

$2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 x - 6 + 0$

Étape 2.3.2

Additionnez $2 x - 6$ et $0$ .

$2 x - 6$

Étape 2.4

Évaluez la dérivée sur $x = 2$ .

$2 (2) - 6$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 - 6$

Étape 2.5.2

Soustrayez $6$ de $4$ .

$- 2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- 2$ et un point donné, tel que $(2, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = - 2 \cdot (x - (2))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- 2 \cdot (x - 2)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 - 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = - 2 \cdot (x - 2)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = - 2 x - 2 \cdot - 2$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $- 2$ .

$y - 1 = - 2 x + 4$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = - 2 x + 4 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$y = - 2 x + 5$

Étape 4