Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = \frac{1}{x - 3}$ ; $x = - 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = - 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $- 1$ .

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{- 1 - 3}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = \frac{1}{(- 1) - 3}$

Étape 1.2.3

Simplifiez $\frac{1}{(- 1) - 3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$y = \frac{1}{- 4}$

Étape 1.2.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{4}$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = - 1$ et $y = - \frac{1}{4}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Réécrivez $\frac{1}{x - 3}$ comme ${(x - 3)}^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 3)}^{- 1}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x - 3$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 3$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.3

Différenciez.

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Étape 2.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.3.3

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} (1 + 0)$

Étape 2.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$- {(x - 3)}^{- 2} \cdot 1$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- {(x - 3)}^{- 2}$

Étape 2.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x - 3)}^{2}}$

Étape 2.5

Évaluez la dérivée sur $x = - 1$ .

$- \frac{1}{{((- 1) - 3)}^{2}}$

Étape 2.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.6.1

Soustrayez $3$ de $- 1$ .

$- \frac{1}{{(- 4)}^{2}}$

Étape 2.6.2

Élevez $- 4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{16}$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $- \frac{1}{16}$ et un point donné, tel que $(- 1, - \frac{1}{4})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- \frac{1}{4}) = - \frac{1}{16} \cdot (x - (- 1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $- \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y + \frac{1}{4} = 0 + 0 - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} \cdot (x + 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y + \frac{1}{4} = - \frac{1}{16} x - \frac{1}{16} \cdot 1$

Étape 3.3.1.4

Associez $x$ et $\frac{1}{16}$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} \cdot 1$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$y + \frac{1}{4} = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16}$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $\frac{1}{4}$ des deux côtés de l’équation.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4}$

Étape 3.3.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{1}{4} \cdot \frac{4}{4}$

Étape 3.3.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $16$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.3.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{4}{4}$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Étape 3.3.2.3.2

Multipliez $4$ par $4$ .

$y = - \frac{x}{16} - \frac{1}{16} - \frac{4}{16}$

Étape 3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 1 - 4}{16}$

Étape 3.3.2.5

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$y = - \frac{x}{16} + \frac{- 5}{16}$

Étape 3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{x}{16} - \frac{5}{16}$

Étape 3.3.3

Écrivez en forme $y = m x + b$ .

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Étape 3.3.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = - (\frac{1}{16} x) - \frac{5}{16}$

Étape 3.3.3.2

Supprimez les parenthèses.

$y = - \frac{1}{16} x - \frac{5}{16}$

Étape 4