Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\cos (x)}$ ; $x = 1$

Étape 1

Déterminez la valeur $y$ correspondant à $x = 1$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $1$ .

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Étape 1.2

Résolvez $y$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 1^{\cos (1)}$

Étape 1.2.2

Supprimez les parenthèses.

$y = {(1)}^{\cos (1)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez ${(1)}^{\cos (1)}$ .

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Étape 1.2.3.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$y = 1^{0.99984769}$

Étape 1.2.3.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$y = 1$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 1$ et $y = 1$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 2.1.1

Réécrivez $x^{\cos (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\cos (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\cos (x)})}]$

Étape 2.1.2

Développez $\ln (x^{\cos (x)})$ en déplaçant $\cos (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\cos (x) \ln (x)}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \cos (x) \ln (x)$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\cos (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x) \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x) \ln (x)]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\cos (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.5

Associez $\cos (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Étape 2.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$e^{\cos (x) \ln (x)} (\frac{\cos (x)}{x} + \ln (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.7

Simplifiez

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Étape 2.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\cos (x) \ln (x)} \frac{\cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} (\ln (x) (- \sin (x)))$

Étape 2.7.2

Associez $e^{\cos (x) \ln (x)}$ et $\frac{\cos (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x} + e^{\cos (x) \ln (x)} \ln (x) (- \sin (x))$

Étape 2.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{\cos (x) \ln (x)} \sin (x) \ln (x) + \frac{e^{\cos (x) \ln (x)} \cos (x)}{x}$

Étape 2.8

Évaluez la dérivée sur $x = 1$ .

$- e^{\cos (1) \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9

Simplifiez

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Étape 2.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.9.1.1

Évaluez $\cos (1)$ .

$- e^{0.99984769 \ln (1)} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.2

Simplifiez $0.99984769 \ln (1)$ en déplaçant $0.99984769$ dans le logarithme.

$- e^{\ln (1^{0.99984769})} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$- 1^{0.99984769} \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- 1 \cdot 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1 \sin (1) \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.6

Évaluez $\sin (1)$ .

$- 1 \cdot 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.7

Multipliez $- 1$ par $0.0174524$ .

$- 0.0174524 \ln (1) + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.8

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 0.0174524 \cdot 0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.9

Multipliez $- 0.0174524$ par $0$ .

$0 + \frac{e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)}{1}$

Étape 2.9.1.10

Divisez $e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$ par $1$ .

$0 + e^{\cos (1) \ln (1)} \cos (1)$

Étape 2.9.1.11

Évaluez $\cos (1)$ .

$0 + e^{0.99984769 \ln (1)} \cos (1)$

Étape 2.9.1.12

Simplifiez $0.99984769 \ln (1)$ en déplaçant $0.99984769$ dans le logarithme.

$0 + e^{\ln (1^{0.99984769})} \cos (1)$

Étape 2.9.1.13

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$0 + 1^{0.99984769} \cos (1)$

Étape 2.9.1.14

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$0 + 1 \cos (1)$

Étape 2.9.1.15

Multipliez $\cos (1)$ par $1$ .

$0 + \cos (1)$

Étape 2.9.1.16

Évaluez $\cos (1)$ .

$0 + 0.99984769$

Étape 2.9.2

Additionnez $0$ et $0.99984769$ .

$0.99984769$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $0.99984769$ et un point donné, tel que $(1, 1)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (1) = 0.99984769 \cdot (x - (1))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $0.99984769 \cdot (x - 1)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 1 = 0 + 0 + 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 1 = 0.99984769 \cdot (x - 1)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 1 = 0.99984769 x + 0.99984769 \cdot - 1$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $0.99984769$ par $- 1$ .

$y - 1 = 0.99984769 x - 0.99984769$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $1$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 0.99984769 x - 0.99984769 + 1$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 0.99984769$ et $1$ .

$y = 0.99984769 x + 0.0001523$

Étape 4