Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ at the point $(4, \frac{5}{2})$

Étape 1

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = \frac{5}{2}$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{\frac{1}{2}} + 2 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Étape 1.2.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{- 1}]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 2 (- x^{- 2})$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - 2 x^{- 2}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 x^{- 2}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.3

Associez des termes.

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Étape 1.4.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - 2 \frac{1}{x^{2}}$

Étape 1.4.3.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2}{x^{2}}$

Étape 1.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} - \frac{2}{x^{2}}$

Étape 1.4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{2}{x^{2}} + \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.5

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$- \frac{2}{{(4)}^{2}} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6

Simplifiez

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Étape 1.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.6.1.1

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$- \frac{2}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2

Annulez le facteur commun à $2$ et $16$ .

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Étape 1.6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{2 (1)}{16} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 {(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.6.1.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 1.6.1.3.2

Multipliez les exposants dans ${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 1.6.1.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.6.1.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.6.1.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})}}$

Étape 1.6.1.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2^{1}}$

Étape 1.6.1.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{1 + 1}}$

Étape 1.6.1.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{2^{2}}$

Étape 1.6.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4}$

Étape 1.6.2

Pour écrire $\frac{1}{4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2}$

Étape 1.6.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $8$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.6.3.1

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{4 \cdot 2}$

Étape 1.6.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$- \frac{1}{8} + \frac{2}{8}$

Étape 1.6.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 1 + 2}{8}$

Étape 1.6.5

Additionnez $- 1$ et $2$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 2

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 2.1

Utilisez la pente $\frac{1}{8}$ et un point donné, tel que $(4, \frac{5}{2})$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{5}{2}) = \frac{1}{8} \cdot (x - (4))$

Étape 2.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3

Résolvez $y$ .

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Étape 2.3.1

Simplifiez $\frac{1}{8} \cdot (x - 4)$ .

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Étape 2.3.1.1

Réécrivez.

$y - \frac{5}{2} = 0 + 0 + \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} \cdot (x - 4)$

Étape 2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{8} x + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.4

Associez $\frac{1}{8}$ et $x$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{8} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.3.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $8$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 (2)} \cdot - 4$

Étape 2.3.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $- 4$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.3

Annulez le facteur commun.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{4 \cdot 2} \cdot (4 \cdot - 1)$

Étape 2.3.1.5.4

Réécrivez l’expression.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 2.3.1.6

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} + \frac{- 1}{2}$

Étape 2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y - \frac{5}{2} = \frac{x}{8} - \frac{1}{2}$

Étape 2.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 2.3.2.1

Ajoutez $\frac{5}{2}$ aux deux côtés de l’équation.

$y = \frac{x}{8} - \frac{1}{2} + \frac{5}{2}$

Étape 2.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{x}{8} + \frac{- 1 + 5}{2}$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $- 1$ et $5$ .

$y = \frac{x}{8} + \frac{4}{2}$

Étape 2.3.2.4

Divisez $4$ par $2$ .

$y = \frac{x}{8} + 2$

Étape 2.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = \frac{1}{8} x + 2$

Étape 3